Seja
um espaço vetorial e seja
. Mostre que:
-
para todo
, com 0 elemento neutro de
.
- Se
, então ou
ou
, onde
e 0 elemento neutro de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial
e um vetor
que pertence a
. O exercício pede para mostrar duas coisas:
- Que
para qualquer número real , onde é o vetor nulo de . - Que se
, então ou ou , onde é um número real e é o vetor nulo de .
Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é um vetor nulo e como funciona a multiplicação de um escalar por um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
para qualquer
. O vetor nulo
tem a propriedade de que, quando você soma ele com qualquer vetor, o resultado é o próprio vetor.
Então, para a multiplicação por um escalar
:
Isso acontece porque distribuir o escalar
sobre a soma de vetores que são todos zero ainda resulta em zero. Basicamente, multiplicar o vetor nulo por qualquer número não muda nada, continua sendo o vetor nulo.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte: se
, devemos mostrar que ou
ou
.
Imagine que
é um número real e
é um vetor. Se a multiplicação de
por
dá o vetor nulo, isso pode acontecer de duas maneiras:
- Se
: Multiplicando zero por qualquer vetor sempre dá o vetor nulo, conforme vimos antes. - Se
: Multiplicar qualquer número real por zero (o vetor nulo) também dá o vetor nulo.
Portanto, se
, pelo menos uma das duas coisas deve ser verdadeira: ou o escalar
é zero, ou o vetor
é o vetor nulo.
Resposta
Assim, mostramos que:
-
para todo . - Se
, então ou ou .