Seja um espaço vetorial e seja . Mostre que:
  • para todo , com 0 elemento neutro de .
  • Se , então ou ou , onde e 0 elemento neutro de

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial e um vetor que pertence a . O exercício pede para mostrar duas coisas:
  1. Que para qualquer número real , onde é o vetor nulo de .
  2. Que se , então ou ou , onde é um número real e é o vetor nulo de .
Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é um vetor nulo e como funciona a multiplicação de um escalar por um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que para qualquer . O vetor nulo tem a propriedade de que, quando você soma ele com qualquer vetor, o resultado é o próprio vetor.
Então, para a multiplicação por um escalar :
Isso acontece porque distribuir o escalar sobre a soma de vetores que são todos zero ainda resulta em zero. Basicamente, multiplicar o vetor nulo por qualquer número não muda nada, continua sendo o vetor nulo.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte: se , devemos mostrar que ou ou .
Imagine que é um número real e é um vetor. Se a multiplicação de por dá o vetor nulo, isso pode acontecer de duas maneiras:
  1. Se : Multiplicando zero por qualquer vetor sempre dá o vetor nulo, conforme vimos antes.
  2. Se : Multiplicar qualquer número real por zero (o vetor nulo) também dá o vetor nulo.
Portanto, se , pelo menos uma das duas coisas deve ser verdadeira: ou o escalar é zero, ou o vetor é o vetor nulo.

Resposta

Assim, mostramos que:
  • para todo .
  • Se , então ou ou .

Exercícios relacionados

Escalone as matrizes abaixo e determine seus respectivos postos.
b) .
Seja o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Defina a adição e multiplicação por escalar em por .
Usamos o símbolo para denotar a operação de adição neste sistema para evitar confusão com a adição usual de vetores linha. Mostre que , com a multiplicação por escalar ordinária e a operação de adição , não é um espaço vetorial. Quais dos oito axiomas não é satisfeito?
Sejam e matrizes quadradas de ordem . Verifique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justifique suas respostas.
d) Se ou não é invertível, então também não é.
Considere o subespaço de gerado pelos vetores e .
? Por quê?