Sejam e matrizes quadradas de ordem . Verifique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justifique suas respostas.
g) Se é uma matriz diagonal, então .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão diz que se a matriz é diagonal, então o determinante de é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, ou seja, . Vamos usar conceitos de matrizes diagonais e determinantes para verificar se isso é verdade.
Passo 2
Primeiro, uma matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero. Por exemplo, numa matriz :
Agora, sobre o determinante: Para uma matriz triangular (que inclui as matrizes diagonais), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Isso porque, ao calcular o determinante, todos os termos que envolvem os zeros fora da diagonal acabam não contribuindo para o valor final.
Então, aplicando isso à matriz diagonal:
Resposta
Verdadeira. Se é uma matriz diagonal, então o determinante de é realmente igual ao produto dos elementos da diagonal principal, ou seja, .