Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n. Verifique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justifique suas respostas.
g) Se A é uma matriz diagonal, então det(A)=a11 a22 ldots an n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que se a matriz é diagonal, então o determinante de é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, ou seja, . Vamos usar conceitos de matrizes diagonais e determinantes para verificar se isso é verdade.

Passo 2

Primeiro, uma matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero. Por exemplo, numa matriz A = a11 & 0 & 0 0 & a22 & 0 0 & 0 & a33 :
det(A) = a11 cdot a22 cdot a33 cdot ldots cdot ann
Agora, sobre o determinante: Para uma matriz triangular (que inclui as matrizes diagonais), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Isso porque, ao calcular o determinante, todos os termos que envolvem os zeros fora da diagonal acabam não contribuindo para o valor final.
Então, aplicando isso à matriz diagonal:

Resposta

Verdadeira. Se é uma matriz diagonal, então o determinante de é realmente igual ao produto dos elementos da diagonal principal, ou seja, .

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