Sejam e .
(a) Mostre que e são subespaços de .

Passo 1

No problema, temos três conjuntos , e no espaço tridimensional . Precisamos mostrar que esses conjuntos são subespaços vetoriais de . Para isso, vamos usar os seguintes critérios que definem um subespaço:
  1. Contém o vetor zero: O conjunto deve incluir o vetor .
  2. Fechado pela adição: A soma de quaisquer dois vetores do conjunto também deve pertencer ao conjunto.
  3. Fechado pela multiplicação por escalar: Qualquer vetor do conjunto, multiplicado por um número real (escalar), também deve estar no conjunto.
Vamos verificar esses critérios para cada um dos conjuntos , e .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o conjunto .
  • Vetor zero: O vetor claramente satisfaz , pois . Então, .
  • Fechamento pela adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em , digamos e , onde e , a soma deles será . Como , a soma também satisfaz , ou seja, pertence a .
  • Fechamento pela multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um vetor em por um escalar , teremos . Como , , e o vetor resultante ainda satisfaz , permanecendo em .
Assim, é um subespaço de .

Passo 3

Agora, vamos verificar o conjunto .
  • Vetor zero: O vetor satisfaz e , então está em .
  • Fechamento pela adição: Tomemos dois vetores em , como e . A soma deles é , que também está em porque .
  • Fechamento pela multiplicação por escalar: Multiplicando um vetor por um escalar , obtemos . Este vetor ainda tem , então pertence a .
Portanto, é também um subespaço de .

Passo 4

Por último, vamos analisar o conjunto .
  • Vetor zero: O vetor obviamente satisfaz , então está em .
  • Fechamento pela adição: Pegue dois vetores em , digamos e , onde e . A soma deles é . Calculando a soma das coordenadas: . Então, a soma está em .
  • Fechamento pela multiplicação por escalar: Multiplicando um vetor em por um escalar , obtemos . A soma das coordenadas é , então o vetor resultante também está em .
Logo, é um subespaço de .

Resposta

Os conjuntos , e são subespaços de .

Exercícios relacionados

Determine para quais valores de o conjunto não é uma base de .
Considere o subespaço de gerado pelos vetores . É verdade que
No espaço vetorial considere os seguintes subespaços:
Encontre bases para: e (obs: é a derivada de ).
Dados subespaços do espaço vetorial determinar, nos seguintes casos:
uma base e a dimensão de .
.