Sejam
e
.
(a) Mostre que
e
são subespaços de
.
(a) Mostre que
Passo 1
No problema, temos três conjuntos
,
e
no espaço tridimensional
. Precisamos mostrar que esses conjuntos são subespaços vetoriais de
. Para isso, vamos usar os seguintes critérios que definem um subespaço:
- Contém o vetor zero: O conjunto deve incluir o vetor
. - Fechado pela adição: A soma de quaisquer dois vetores do conjunto também deve pertencer ao conjunto.
- Fechado pela multiplicação por escalar: Qualquer vetor do conjunto, multiplicado por um número real (escalar), também deve estar no conjunto.
Vamos verificar esses critérios para cada um dos conjuntos
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o conjunto
.
-
Vetor zero: O vetor
claramente satisfaz , pois . Então, . -
Fechamento pela adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em
, digamos e , onde e , a soma deles será . Como , a soma também satisfaz , ou seja, pertence a . -
Fechamento pela multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um vetor
em por um escalar , teremos . Como , , e o vetor resultante ainda satisfaz , permanecendo em .
Assim,
é um subespaço de
.
Passo 3
Agora, vamos verificar o conjunto
.
-
Vetor zero: O vetor
satisfaz e , então está em . -
Fechamento pela adição: Tomemos dois vetores em
, como e . A soma deles é , que também está em porque . -
Fechamento pela multiplicação por escalar: Multiplicando um vetor
por um escalar , obtemos . Este vetor ainda tem , então pertence a .
Portanto,
é também um subespaço de
.
Passo 4
Por último, vamos analisar o conjunto
.
-
Vetor zero: O vetor
obviamente satisfaz , então está em . -
Fechamento pela adição: Pegue dois vetores em
, digamos e , onde e . A soma deles é . Calculando a soma das coordenadas: . Então, a soma está em . -
Fechamento pela multiplicação por escalar: Multiplicando um vetor
em por um escalar , obtemos . A soma das coordenadas é , então o vetor resultante também está em .
Logo,
é um subespaço de
.
Resposta
Os conjuntos
,
e
são subespaços de
.
Exercícios relacionados
Determine para quais valores de
o conjunto
não é uma base de
.
Considere o subespaço de
gerado pelos vetores
. É verdade que
No espaço vetorial
considere os seguintes subespaços:
Encontre bases para:
e
(obs:
é a derivada de
).
Dados
subespaços do espaço vetorial
determinar, nos seguintes casos:
uma base e a dimensão de .
.
uma base e a dimensão de