Considere o subespaço de
b) dimensão de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte b) do exercício que pede a dimensão do subespaço de matrizes . O subespaço é definido por:
Então, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e suas dimensões, para encontrar quantas “direções” independentes existem nesse conjunto de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a condição . Isso relaciona os elementos da matriz, restringindo o valor de em função de e . Ou seja, se você escolher valores para e , o valor de já está determinado.

Passo 3

Uma matriz geral tem 4 elementos: . Mas, como depende de e , ele não é uma variável livre. Portanto, as variáveis livres são e .

Passo 4

Para encontrar a dimensão do subespaço , contamos quantas variáveis são livres. Aqui, temos 3 variáveis livres ( ). Cada variável livre corresponde a uma direção independente no subespaço.

Passo 5

Assim, o número de variáveis livres nos dá a dimensão do subespaço. Portanto, a dimensão de é 3.

Resposta

A dimensão do subespaço é .

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