Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal de a partir da base .

Passo 1

Resumo do Problema: Temos uma base no espaço e precisamos encontrar uma base ortonormal usando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. Para isso, vamos utilizar conceitos como produto escalar e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro Vetor: Começamos com o primeiro vetor da base , que é . Para tornar esse vetor parte de uma base ortonormal, primeiro precisamos normalizá-lo.
Normalização: Calculamos o comprimento (ou norma) de :
Então, o primeiro vetor normalizado é:

Passo 3

Segundo Vetor: Agora, pegamos o segundo vetor e o tornamos ortogonal a .
Subtração da Projeção: Calculamos a projeção de sobre :
Calculando o produto escalar:
Então:
Subtraímos essa projeção de :
Normalização de :
Então, o segundo vetor normalizado é:

Passo 4

Terceiro Vetor: Por fim, tomamos o terceiro vetor e o tornamos ortogonal a e .
Subtração das Projeções: Calculamos as projeções de sobre e :
Então:
Normalização de :
Então, o terceiro vetor normalizado é:

Resposta

A base ortonormal obtida pelo processo de Gram-Schmidt é:

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