Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal
de
a partir da base
.
Passo 1
Resumo do Problema: Temos uma base
no espaço
e precisamos encontrar uma base ortonormal
usando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. Para isso, vamos utilizar conceitos como produto escalar e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro Vetor: Começamos com o primeiro vetor da base
, que é
. Para tornar esse vetor parte de uma base ortonormal, primeiro precisamos normalizá-lo.
Normalização: Calculamos o comprimento (ou norma) de
:
Então, o primeiro vetor normalizado
é:
Passo 3
Segundo Vetor: Agora, pegamos o segundo vetor
e o tornamos ortogonal a
.
Subtração da Projeção: Calculamos a projeção de
sobre
:
Calculando o produto escalar:
Então:
Subtraímos essa projeção de
:
Normalização de
:
Então, o segundo vetor normalizado
é:
Passo 4
Terceiro Vetor: Por fim, tomamos o terceiro vetor
e o tornamos ortogonal a
e
.
Subtração das Projeções: Calculamos as projeções de
sobre
e
:
Então:
Normalização de
:
Então, o terceiro vetor normalizado
é:
Resposta
A base ortonormal
obtida pelo processo de Gram-Schmidt é: