Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal beta^prime de R^3 a partir da base beta=(1,1,1),(0,2,1),(0,0,1).

Passo 1

Resumo do Problema: Temos uma base no espaço e precisamos encontrar uma base ortonormal usando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. Para isso, vamos utilizar conceitos como produto escalar e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro Vetor: Começamos com o primeiro vetor da base |v1| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3 , que é u1 = v1|v1| = (1raiz3, 1raiz3, 1raiz3) . Para tornar esse vetor parte de uma base ortonormal, primeiro precisamos normalizá-lo.
Normalização: Calculamos o comprimento (ou norma) de :
Então, o primeiro vetor normalizado é:

Passo 3

Segundo Vetor: Agora, pegamos o segundo vetor proju1 v2 = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1 e o tornamos ortogonal a v2 cdot u1 = 0 cdot 1raiz3 + 2 cdot 1raiz3 + 1 cdot 1raiz3 = 3raiz3 = raiz3 .
Subtração da Projeção: Calculamos a projeção de proju1 v2 = raiz3 cdot (1raiz3, 1raiz3, 1raiz3) = (1,1,1) sobre w2 = v2 - proju1 v2 = (0,2,1) - (1,1,1) = (-1,1,0) :
|w2| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2
Calculando o produto escalar:
u2 = w2|w2| = (-1raiz2, 1raiz2, 0)
Então:
Subtraímos essa projeção de :
Normalização de :
Então, o segundo vetor normalizado é:

Passo 4

Terceiro Vetor: Por fim, tomamos o terceiro vetor proju1 v3 = ( v3 cdot u1u1 cdot u1 ) u1 = 1raiz3 cdot (1raiz3, 1raiz3, 1raiz3) = (13, 13, 13) e o tornamos ortogonal a proju2 v3 = ( v3 cdot u2u2 cdot u2 ) u2 = 0 cdot u2 = (0,0,0) e w3 = v3 - proju1 v3 - proju2 v3 = (0,0,1) - (13, 13, 13) = (-13, -13, 23) .
Subtração das Projeções: Calculamos as projeções de |w3| = raiz(-13)^2 + (-13)^2 + (23)^2 = raiz19 + 19 + 49 = raiz69 = raiz23 = raiz63 sobre u3 = w3|w3| = (-1raiz6, -1raiz6, 2raiz6) e :
Então:
Normalização de :
Então, o terceiro vetor normalizado é:

Resposta

A base ortonormal beta' = (1raiz3, 1raiz3, 1raiz3), (-1raiz2, 1raiz2, 0), (-1raiz6, -1raiz6, 2raiz6) obtida pelo processo de Gram-Schmidt é:

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