Sejam os vetores u=(4,-6,4) e v=(-2,4,8) em R^3.
b) Para qual valor alpha o veotr (-3,14, alpha) é combinação linear de u e v ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos dois vetores no espaço tridimensional, e . A questão nos pede para encontrar o valor de tal que o vetor seja uma combinação linear de e .
Conteúdo da matéria: Combinação linear de vetores no espaço vetorial.
O que vamos precisar: Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações que representa a combinação linear e resolver para .

Passo 2

Vamos começar entendendo o que é uma combinação linear. Dizemos que um vetor w = s cdot u + t cdot v é combinação linear de (-3, 14, alpha) = s cdot (4, -6, 4) + t cdot (-2, 4, 8) e se existir escalares e tais que:
No nosso caso, queremos que:

Passo 3

Vamos escrever isso componente por componente:
4s - 2t = -3 (componente x) -6s + 4t = 14 (componente y) 4s + 8t = alpha (componente z)
Assim, temos um sistema de três equações com três incógnitas: , e .

Passo 4

Vamos resolver o sistema para encontrar 4s - 2t = -3 (1) e -6s + 4t = 14 (2) , e então determinar 8s - 4t = -6 (1') .
Primeira equação:
(8s - 4t) + (-6s + 4t) = -6 + 14
Segunda equação:
2s = 8
Podemos resolver esse sistema usando o método da eliminação. Vamos multiplicar a equação (1) por 2 para facilitar a eliminação de s = 82 = 4 :
Agora, somamos a equação (1’) com a equação (2):
Simplificando:
Portanto:

Passo 5

Agora que sabemos que 4(4) - 2t = -3 , vamos substituir esse valor na equação (1) para encontrar 16 - 2t = -3 :
-2t = -19
t = 192 = 9,5
Subtraindo 16 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por -2:

Passo 6

Com os valores de 4s + 8t = alpha e 4(4) + 8(9,5) = alpha encontrados, podemos agora calcular 16 + 76 = alpha usando a terceira equação:
alpha = 92
Substituindo e :

Resposta

O valor de que torna o vetor uma combinação linear de e é .

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