a) Encontre um inteiro x tal que
l x equiv 3(bmod 10) x equiv 11(bmod 13) x equiv 15(bmod 17)

Passo 1

Vamos lá! Temos um problema onde precisamos encontrar um número inteiro x equiv 3 pmod10 x equiv 11 pmod13 x equiv 15 pmod17 que satisfaça todas essas três condições:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema Chinês do Resto, que é uma ferramenta excelente para resolver sistemas de congruências quando os módulos são coprimos (ou seja, não têm divisores comuns além de 1).

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os números 10, 13 e 17 são coprimos entre si.
  • 10 e 13: Não têm divisores comuns além de 1.
  • 10 e 17: Também não têm divisores comuns além de 1.
  • 13 e 17: Ambos são números primos, então são coprimos.
Como todos os módulos são coprimos dois a dois, podemos aplicar o Teorema Chinês do Resto sem problemas.

Passo 3

Vamos resolver as duas primeiras congruências primeiro:
x equiv 3 pmod10 x equiv 11 pmod13
Podemos escrever a primeira congruência como 10k + 3 equiv 11 pmod13 , onde é um inteiro qualquer.
Substituindo isso na segunda congruência:

Passo 4

Agora, vamos resolver para 10k + 3 equiv 11 pmod13 10k equiv 11 - 3 pmod13 10k equiv 8 pmod13 :
k equiv 8 times 4 pmod13 k equiv 32 pmod13 k equiv 6 pmod13
Para isolar , precisamos encontrar o inverso multiplicativo de 10 módulo 13. Isso significa encontrar um número que, multiplicado por 10, resulte em 1 módulo 13.
Testando, vemos que . Então, o inverso de 10 é 4.
Multiplicando ambos os lados por 4:
Portanto, , onde é um inteiro qualquer.

Passo 5

Substituindo x = 10k + 3 = 10(13m + 6) + 3 = 130m + 60 + 3 = 130m + 63 na expressão para x equiv 63 pmod130 :
Isso nos dá:

Passo 6

Agora, usamos essa expressão de x equiv 15 pmod17 na terceira congruência:
130m + 63 equiv 15 pmod17
Substituindo :

Passo 7

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, reduzimos os coeficientes modulo 17:
130 div 17 = 7 com resto 11 Rightarrow 130 equiv 11 pmod17 63 div 17 = 3 com resto 12 Rightarrow 63 equiv 12 pmod17
Então, a equação fica:
11m + 12 equiv 15 pmod17 11m equiv 3 pmod17
Agora, encontramos o inverso de 11 módulo 17. Como m equiv 3 times 14 pmod17 m equiv 42 pmod17 m equiv 8 pmod17 , o inverso de 11 é 14.
Multiplicando ambos os lados por 14:
Então, , onde é um inteiro qualquer.

Passo 8

Substituindo x = 130m + 63 = 130(17n + 8) + 63 = 2210n + 1040 + 63 = 2210n + 1103 na expressão para x equiv 1103 pmod2210 :
Isso nos dá a solução geral:

Resposta

Um inteiro que satisfaz todas as três congruências é .

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