Seja um número natural tal que ; sejam pontos fixados no plano. Discutir a existência e a unicidade de um polígono com lados cujos pontos médios são os pontos .

Passo 1

Então, galera, vamos resolver esse exercício de geometria! A gente tem um número natural e pontos fixos no plano chamados . A questão pede pra gente discutir se existe um polígono com lados cujos pontos médios das arestas são exatamente esses pontos . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre polígonos e propriedades dos pontos médios das suas arestas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o ponto médio de um segmento de reta é o ponto que divide esse segmento em duas partes iguais. No contexto de um polígono, cada aresta tem um ponto médio correspondente.
Para encontrar um polígono cujos pontos médios são , precisamos determinar as posições dos vértices desse polígono de forma que, ao ligá-los, os pontos médios das arestas coincidam com os fornecidos.

Passo 3

Vamos considerar que os vértices do polígono são . O ponto médio de cada aresta (considerando ) deve ser igual a . Matemáticamente, isso significa que:
Para cada , temos essa equação que relaciona os vértices com os pontos médios.

Passo 4

Temos um sistema de equações lineares baseado nas equações acima. Podemos reescrevê-las para facilitar a solução:
Isso significa que cada vértice seguinte pode ser expressado em termos do vértice anterior e do ponto médio correspondente.

Passo 5

Vamos substituir essas equações recursivamente para encontrar uma expressão geral para os vértices. No entanto, para que o polígono seja fechado, a última equação deve satisfazer:
Isso cria uma condição que deve ser satisfeita para que exista um polígono fechado com os pontos médios dados.

Passo 6

Ao resolver esse sistema, vemos que existe exatamente um conjunto de vértices que satisfaz todas as equações simultaneamente, assumindo que os pontos médios são fixos no plano e dados na ordem correta.

Passo 7

Portanto, a existência e unicidade do polígono dependem das condições acima, e sob essas condições, sempre haverá um único polígono com os pontos médios especificados.

Resposta

Existe exatamente um polígono de lados cujos pontos médios das arestas são os pontos . Ou seja, para , sempre existe e é único um polígono com lados cujo pontos médios são os pontos dados.

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