Considere o subespaço S de M2 times 2
S=(ll a & b c & d ) rvert, c=a+b e d=a
dimensão de S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a dimensão do subespaço de matrizes . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e dimensão. Pra resolver, vamos precisar entender o que define o subespaço e quantos parâmetros livres ele tem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é a & b c & d . As matrizes em têm a forma:
Com as condições dadas:
Isso significa que, ao invés de a, b, c e d serem todos independentes, e estão dependentes de e .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a matriz usando essas relações:
a & b a + b & a
Perceba que agora a matriz é completamente determinada pelos valores de e . Ou seja, se a gente escolher qualquer valor pra e , os outros elementos e são definidos automaticamente.

Passo 4

A dimensão de um subespaço é o número de vetores que formam uma base para ele, ou seja, o número de parâmetros independentes necessários para descrever qualquer elemento do subespaço.
Aqui, vemos que temos 2 parâmetros independentes: e . Já que e dependem desses dois, não adicionam mais dimensão.

Passo 5

Então, como temos 2 parâmetros independentes ( e ), a dimensão do subespaço é 2.

Resposta

A dimensão do subespaço é .

Exercícios relacionados