Considerem-se as matrizes Mat tal que .
17.1 Mostrar que a matriz não é invertível.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos uma matriz de ordem com entradas reais, ou seja, , e sabemos que . Nosso objetivo é mostrar que essa matriz não é invertível. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear relacionados à invertibilidade de matrizes e propriedades de matrizes quadradas.
Passo 2
Vamos lembrar que uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Em outras palavras, é invertível se . Além disso, sabemos que se uma matriz é invertível, ela não pode ter determinante zero.
Passo 3
Agora, vamos considerar a propriedade dada: . Isso significa que quando multiplicamos a matriz por ela mesma, o resultado é a matriz nula, aquela onde todos os elementos são zero.
Passo 4
Vamos calcular o determinante de ambos os lados da equação . Sabemos que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes, ou seja, .
Passo 5
Por outro lado, o determinante da matriz nula é zero, ou seja, . Então, temos:
Passo 6
A equação implica que , já que o único número real cujo quadrado é zero é zero.
Passo 7
Como , concluímos que a matriz não é invertível, pois uma condição necessária para a invertibilidade de uma matriz é que seu determinante seja diferente de zero.