Considerem-se as matrizes A in Mat n(R) tal que A^2=0.
17.1 Mostrar que a matriz A não é invertível.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos uma matriz de ordem com entradas reais, ou seja, , e sabemos que . Nosso objetivo é mostrar que essa matriz não é invertível. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear relacionados à invertibilidade de matrizes e propriedades de matrizes quadradas.

Passo 2

Vamos lembrar que uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Em outras palavras, é invertível se . Além disso, sabemos que se uma matriz é invertível, ela não pode ter determinante zero.

Passo 3

Agora, vamos considerar a propriedade dada: . Isso significa que quando multiplicamos a matriz por ela mesma, o resultado é a matriz nula, aquela onde todos os elementos são zero.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de ambos os lados da equação . Sabemos que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes, ou seja, .

Passo 5

Por outro lado, o determinante da matriz nula é zero, ou seja, (det(A))^2 = det(0) = 0 . Então, temos:

Passo 6

A equação implica que , já que o único número real cujo quadrado é zero é zero.

Passo 7

Como , concluímos que a matriz não é invertível, pois uma condição necessária para a invertibilidade de uma matriz é que seu determinante seja diferente de zero.

Resposta

A matriz não é invertível.

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