Considerem-se as matrizes
Mat
tal que
.
17.1 Mostrar que a matriz
não é invertível.
17.1 Mostrar que a matriz
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos uma matriz
de ordem
com entradas reais, ou seja,
, e sabemos que
. Nosso objetivo é mostrar que essa matriz
não é invertível. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear relacionados à invertibilidade de matrizes e propriedades de matrizes quadradas.
Passo 2
Vamos lembrar que uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Em outras palavras,
é invertível se
. Além disso, sabemos que se uma matriz é invertível, ela não pode ter determinante zero.
Passo 3
Agora, vamos considerar a propriedade dada:
. Isso significa que quando multiplicamos a matriz
por ela mesma, o resultado é a matriz nula, aquela onde todos os elementos são zero.
Passo 4
Vamos calcular o determinante de ambos os lados da equação
. Sabemos que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes, ou seja,
.
Passo 5
Por outro lado, o determinante da matriz nula é zero, ou seja,
. Então, temos:
Passo 6
A equação
implica que
, já que o único número real cujo quadrado é zero é zero.
Passo 7
Como
, concluímos que a matriz
não é invertível, pois uma condição necessária para a invertibilidade de uma matriz é que seu determinante seja diferente de zero.
Resposta
A matriz
não é invertível.