Determinar as equações das linhas retas ou das curvas que contêm os pontos dados ou que verificam as condições especificadas.
4.4 Determinar todos os valores de a, b, c in R tais que o polinômio p(x)=a x^2+b x+c verifique as condições p(-1)=5, p(1)=1 e p(2)=2.

Passo 1

Vamos resolver um problema onde precisamos encontrar os valores de , e em um polinômio de segundo grau . A gente tem três condições que o polinômio deve satisfazer: quando , ; quando , ; e quando , . Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de sistemas de equações lineares, já que temos três equações para três incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os valores de p(-1) = a (-1)^2 + b (-1) + c = 5 nas condições dadas para formar três equações:
  1. Para a - b + c = 5 :
p(1) = a (1)^2 + b (1) + c = 1
a + b + c = 1
  1. Para p(2) = a (2)^2 + b (2) + c = 2 :
4a + 2b + c = 2
a - b + c = 5 a + b + c = 1 4a + 2b + c = 2
  1. Para :
Agora, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar (a + b + c) - (a - b + c) = 1 - 5 :
a + b + c - a + b - c = -4
2b = -4
b = -2
a + (-2) + c = 1
Agora que temos a + c = 3 , vamos substituir esse valor na segunda equação para encontrar 4a + 2(-2) + c = 2 :
4a - 4 + c = 2
4a + c = 6
Em seguida, vamos substituir a + c = 3 4a + c = 6 na terceira equação:
(4a + c) - (a + c) = 6 - 3
3a = 3
a = 1
Agora, temos duas equações com 1 + c = 3 e c = 2 :
Vamos subtrair a primeira dessas equações da segunda para eliminar :
Com , vamos substituir na equação :

Resposta

Os valores que satisfazem as condições são:
a = 1
b = -2
c = 2

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