(1,6) Considere o subespaço S do R^3 definido por
S=(x, y, z) in R^3 / x-2 y+z=0
Determine a dimensão de S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um subespaço do espaço tridimensional , que é definido pela equação . O que queremos descobrir aqui é a dimensão desse subespaço. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como solução de sistemas lineares e combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa equação . Essa é uma equação linear que relaciona as três variáveis , e . Nosso objetivo é descrever todos os pontos que satisfazem essa equação.

Passo 3

Vamos resolver a equação para uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos isolar x = 2y - z :
Isso significa que, para qualquer valor de e , podemos encontrar um correspondente que faz parte do subespaço .

Passo 4

Agora, vamos expressar o vetor (x, y, z) = (2y - z, y, z) usando essa relação:
(x, y, z) = y cdot (2, 1, 0) + z cdot (-1, 0, 1)
Podemos reescrever isso separando os termos com e :
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser formado como uma combinação linear dos vetores e .

Passo 5

Para encontrar a dimensão de (2, 1, 0) e (-1, 0, 1) , precisamos verificar quantos vetores linearmente independentes temos que geram . Aqui, temos dois vetores diferentes que não são múltiplos um do outro:
Como esses dois vetores são independentes, a dimensão de é 2.

Resposta

A dimensão de é 2.

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