(1,6) Considere o subespaço
do
definido por
Determine a dimensão de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um subespaço
do espaço tridimensional
, que é definido pela equação
. O que queremos descobrir aqui é a dimensão desse subespaço. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como solução de sistemas lineares e combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa equação
. Essa é uma equação linear que relaciona as três variáveis
,
e
. Nosso objetivo é descrever todos os pontos
que satisfazem essa equação.
Passo 3
Vamos resolver a equação para uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos isolar
:
Isso significa que, para qualquer valor de
e
, podemos encontrar um
correspondente que faz parte do subespaço
.
Passo 4
Agora, vamos expressar o vetor
usando essa relação:
Podemos reescrever isso separando os termos com
e
:
Isso mostra que qualquer vetor em
pode ser formado como uma combinação linear dos vetores
e
.
Passo 5
Para encontrar a dimensão de
, precisamos verificar quantos vetores linearmente independentes temos que geram
. Aqui, temos dois vetores diferentes que não são múltiplos um do outro:
Como esses dois vetores são independentes, a dimensão de
é 2.
Resposta
A dimensão de
é 2.