Dados os vetores u=(2,3,-1), v=(1,-1,1) e w=(-3,4,0). Determine:
|u|,|v-w| e w|w|

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos os vetores u = (2, 3, -1), v = (1, -1, 1) e w = (-3, 4, 0). Precisamos determinar três coisas:
  1. O módulo de u, ou seja, |u|.
  2. O módulo da diferença entre v e w, que é |v - w|.
  3. O vetor w dividido pelo seu módulo, representado por w|w|.
Para resolver isso, vamos usar a fórmula do módulo de um vetor, a operação de subtração de vetores e a normalização de um vetor (transformar um vetor em um vetor unitário).

Passo 2

Vamos começar calculando o módulo de u. A fórmula para o módulo de um vetor a = (a1, a2, a3) é:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Aplicando isso para u = (2, 3, -1):
|u| = raiz2^2 + 3^2 + (-1)^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14 approx 3,7417

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença entre v e w, que é v - w. Subtraímos as componentes correspondentes dos dois vetores:
v - w = (1 - (-3), -1 - 4, 1 - 0) = (4, -5, 1)
Em seguida, calculamos o módulo desse vetor resultante:
|v - w| = raiz4^2 + (-5)^2 + 1^2 = raiz16 + 25 + 1 = raiz42 approx 6,4807

Passo 4

Por último, vamos normalizar o vetor w, ou seja, dividir w pelo seu próprio módulo para obter um vetor unitário. Primeiro, encontramos o módulo de w = (-3, 4, 0):
|w| = raiz(-3)^2 + 4^2 + 0^2 = raiz9 + 16 + 0 = raiz25 = 5
Agora, dividimos cada componente de w pelo seu módulo:
w|w| = ( -35, 45, 05 ) = ( -35, 45, 0 )

Resposta

  • |u| = raiz14 approx 3,7417
  • |v - w| = raiz42 approx 6,4807
  • w|w| = ( -dfrac35, dfrac45, 0 )

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