(0,8) Mostre que os polinômios
1,1+x, 1-x^2, 1-x-x^2-x^3
são linearmente independentes.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que os polinômios , , e são linearmente independentes. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente do tópico de independência linear. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma combinação linear e como verificar se apenas a combinação trivial satisfaz determinada condição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dados vetores (ou polinômios, no nosso caso) a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 + a4 v4 = 0 , uma combinação linear deles é uma expressão da forma:
onde são escalares (números reais, por exemplo).

Passo 3

Para mostrar que os polinômios são linearmente independentes, precisamos provar que a única solução para a equação
a1 cdot 1 + a2 cdot (1 + x) + a3 cdot (1 - x^2) + a4 cdot (1 - x - x^2 - x^3) = 0
é . Isso significa que nenhum polinômio pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 4

Vamos expandir a equação:
a1 + a2(1 + x) + a3(1 - x^2) + a4(1 - x - x^2 - x^3) = 0
Distribuindo os coeficientes:
a1 + a2 + a2 x + a3 - a3 x^2 + a4 - a4 x - a4 x^2 - a4 x^3 = 0

Passo 5

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(a1 + a2 + a3 + a4) + (a2 - a4) x + (-a3 - a4) x^2 + (-a4) x^3 = 0

Passo 6

Para que essa expressão seja identicamente igual a zero para todo valor de a1 + a2 + a3 + a4 = 0 a2 - a4 = 0 -a3 - a4 = 0 -a4 = 0 , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero:

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da última equação: .
  2. Do terceiro equação: .
  3. Da segunda equação: (já que ).
  4. Da primeira equação: (já que todos os outros ).

Resposta

Como a única solução é , os polinômios são linearmente independentes.

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