Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que os polinômios , , e são linearmente independentes. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente do tópico de independência linear. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma combinação linear e como verificar se apenas a combinação trivial satisfaz determinada condição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dados vetores (ou polinômios, no nosso caso) , uma combinação linear deles é uma expressão da forma:
onde são escalares (números reais, por exemplo).
Passo 3
Para mostrar que os polinômios são linearmente independentes, precisamos provar que a única solução para a equação
é . Isso significa que nenhum polinômio pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Passo 4
Vamos expandir a equação:
Distribuindo os coeficientes:
Passo 5
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 6
Para que essa expressão seja identicamente igual a zero para todo valor de , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
Da última equação: .
Do terceiro equação: .
Da segunda equação: (já que ).
Da primeira equação: (já que todos os outros ).
Resposta
Como a única solução é , os polinômios são linearmente independentes.