Discuta e, se possível, resolva o sistema linear l3 x+3 y-2 z-t=2 5 x+2 y+z-2 t=1 2 x-y+3 z-t=-1.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: temos um sistema de equações lineares com quatro variáveis (x, y, z, t) e três equações. Nosso objetivo é discutir e, se possível, resolver esse sistema. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema para encontrar as soluções. Precisamos entender um pouco sobre sistemas lineares e como organizar as equações em uma matriz para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
3x + 3y - 2z - t = 2 5x + 2y + z - 2t = 1 2x - y + 3z - t = -1
Para resolver esse sistema, vamos organizar os coeficientes em uma matriz aumentada, onde as colunas representam as variáveis (x, y, z, t) e o último coluna representa os termos constantes:
3 & 3 & -2 & -1 & | & 2 5 & 2 & 1 & -2 & | & 1 2 & -1 & 3 & -1 & | & -1

Passo 3

Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss para transformar essa matriz em uma forma mais simples, onde possamos facilmente encontrar as soluções. O objetivo é obter zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
Primeiro, vamos trocar a primeira linha pela segunda para facilitar os cálculos, já que o primeiro elemento da segunda linha (5) é maior que o da primeira (3):
5 & 2 & 1 & -2 & | & 1 3 & 3 & -2 & -1 & | & 2 2 & -1 & 3 & -1 & | & -1

Passo 4

Em seguida, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (5). Para isso:
  • Multiplicamos a primeira linha por Linha 2 = Linha 2 - 35 times Linha 1 e subtraímos da segunda linha:
    Linha 3 = Linha 3 - 25 times Linha 1
  • Multiplicamos a primeira linha por 3 - 35 times 5 = 3 - 3 = 0 e subtraímos da terceira linha:
    3 - 35 times 2 = 3 - 65 = 95
Vamos fazer os cálculos:
Para a Linha 2:
-2 - 35 times 1 = -2 - 35 = -135
-1 - 35 times (-2) = -1 + 65 = 15
2 - 35 times 1 = 2 - 35 = 75
2 - 25 times 5 = 2 - 2 = 0
-1 - 25 times 2 = -1 - 45 = -95
Para a Linha 3:
3 - 25 times 1 = 3 - 25 = 135
-1 - 25 times (-2) = -1 + 45 = -15
-1 - 25 times 1 = -1 - 25 = -75
5 & 2 & 1 & -2 & | & 1 0 & 95 & -135 & 15 & | & 75 0 & -95 & 135 & -15 & | & -75
A matriz fica assim:

Passo 5

Observamos que a segunda e a terceira linhas são opostas uma da outra. Isso significa que uma delas não traz nenhuma informação adicional ao sistema. Podemos eliminar uma das linhas para simplificar.
Vamos eliminar a terceira linha:
5 & 2 & 1 & -2 & | & 1 0 & 95 & -135 & 15 & | & 75 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 6

Agora, temos um sistema simplificado com duas equações e quatro variáveis:
5x + 2y + z - 2t = 1 0 + 95y - 135z + 15t = 75
Vamos simplificar a segunda equação multiplicando todos os termos por 5 para eliminar os denominadores:
9y - 13z + t = 7
Agora, temos:
5x + 2y + z - 2t = 1 9y - 13z + t = 7

Passo 7

Como temos mais variáveis (4) do que equações (2), vamos expressar algumas variáveis em termos de outras. Vamos escolher duas variáveis como parâmetros livres. Por exemplo, podemos escolher 9y = 7 + 13z - t e y = 7 + 13z - t9 como parâmetros.
Vamos resolver a segunda equação para 5x + 2(7 + 13z - t9) + z - 2t = 1 :
45x + 2(7 + 13z - t) + 9z - 18t = 9
45x + 14 + 26z - 2t + 9z - 18t = 9
Agora, substituímos 45x + 35z - 20t = -5 na primeira equação:
45x = -5 -35z +20t
Multiplicando todos os termos por 9 para eliminar o denominador:
x = -5 -35z +20t45
x = -19 - 79z + 49t
Agora, resolvemos para :

Passo 8

Agora, temos todas as variáveis expressas em termos de x = -19 - 79z + 49t y = 7 + 13z - t9 z = z t = t e :
Isso significa que o sistema possui infinitas soluções, onde e podem ser quaisquer números reais.

Resposta

O sistema possui infinitas soluções, que podem ser expressas da seguinte forma:
x = -19 - 79z + 49t y = 7 + 13z - t9 z = z t = t
Onde e são parâmetros livres que podem assumir qualquer valor real.

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