Discuta e, se possível, resolva o sistema linear .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: temos um sistema de equações lineares com quatro variáveis (x, y, z, t) e três equações. Nosso objetivo é discutir e, se possível, resolver esse sistema. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema para encontrar as soluções. Precisamos entender um pouco sobre sistemas lineares e como organizar as equações em uma matriz para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
3x + 3y - 2z - t = 2 5x + 2y + z - 2t = 1 2x - y + 3z - t = -1
Para resolver esse sistema, vamos organizar os coeficientes em uma matriz aumentada, onde as colunas representam as variáveis (x, y, z, t) e o último coluna representa os termos constantes:
Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss para transformar essa matriz em uma forma mais simples, onde possamos facilmente encontrar as soluções. O objetivo é obter zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
Primeiro, vamos trocar a primeira linha pela segunda para facilitar os cálculos, já que o primeiro elemento da segunda linha (5) é maior que o da primeira (3):
Observamos que a segunda e a terceira linhas são opostas uma da outra. Isso significa que uma delas não traz nenhuma informação adicional ao sistema. Podemos eliminar uma das linhas para simplificar.
Agora, temos um sistema simplificado com duas equações e quatro variáveis:
5x + 2y + z - 2t = 1 0 + 95y - 135z + 15t = 75
Vamos simplificar a segunda equação multiplicando todos os termos por 5 para eliminar os denominadores:
9y - 13z + t = 7
Agora, temos:
5x + 2y + z - 2t = 1 9y - 13z + t = 7
Passo 7
Como temos mais variáveis (4) do que equações (2), vamos expressar algumas variáveis em termos de outras. Vamos escolher duas variáveis como parâmetros livres. Por exemplo, podemos escolher 9y = 7 + 13z - t e y = 7 + 13z - t9 como parâmetros.
Vamos resolver a segunda equação para 5x + 2(7 + 13z - t9) + z - 2t = 1 :
45x + 2(7 + 13z - t) + 9z - 18t = 9
45x + 14 + 26z - 2t + 9z - 18t = 9
Agora, substituímos 45x + 35z - 20t = -5 na primeira equação:
45x = -5 -35z +20t
Multiplicando todos os termos por 9 para eliminar o denominador:
x = -5 -35z +20t45
x = -19 - 79z + 49t
Agora, resolvemos para :
Passo 8
Agora, temos todas as variáveis expressas em termos de x = -19 - 79z + 49t y = 7 + 13z - t9 z = z t = t e :
Isso significa que o sistema possui infinitas soluções, onde e podem ser quaisquer números reais.
Resposta
O sistema possui infinitas soluções, que podem ser expressas da seguinte forma:
x = -19 - 79z + 49t y = 7 + 13z - t9 z = z t = t
Onde e são parâmetros livres que podem assumir qualquer valor real.