Considere o subespaço S do R^5 gerado pelos vetores A=(1,1,1,1,1),(2,1,0,1,2),(3,3,0,3,3).
O vetor (0,1,1,1,0) pertence a S ? Justifique.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um subespaço do gerado por três vetores: . A pergunta é: o vetor está dentro desse subespaço ?
Para resolver isso, vamos precisar usar alguns conceitos de álgebra linear, como combinação linear de vetores e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Um subespaço gerado por um conjunto de vetores é, basicamente, todas as combinações lineares possíveis desses vetores. Ou seja, podemos formar qualquer vetor no subespaço multiplicando cada vetor gerador por um escalar (coeficiente) e somando os resultados.
Então, queremos saber se existem números (coeficientes) alpha cdot (1,1,1,1,1) + beta cdot (2,1,0,1,2) + gamma cdot (3,3,0,3,3) = (0,1,1,1,0) , e tais que:

Passo 3

Vamos escrever isso componente a componente. Isso significa que para cada posição do vetor, a soma das multiplicações deve ser igual à componente correspondente do vetor dado.
Assim, temos o seguinte sistema de equações:
alpha cdot 1 + beta cdot 2 + gamma cdot 3 = 0 (1ª componente) alpha cdot 1 + beta cdot 1 + gamma cdot 3 = 1 (2ª componente) alpha cdot 1 + beta cdot 0 + gamma cdot 0 = 1 (3ª componente) alpha cdot 1 + beta cdot 1 + gamma cdot 3 = 1 (4ª componente) alpha cdot 1 + beta cdot 2 + gamma cdot 3 = 0 (5ª componente) ªªªªª

Passo 4

Observando as equações, percebemos que a 2ª e a 4ª componentes são iguais, assim como a 1ª e a 5ª. Isso indica que algumas equações se repetem, o que simplifica nosso sistema.
Vamos resolver passo a passo:
Primeira, da 3ª componente:
alpha = 1

Passo 5

Agora que sabemos que 1 + beta + 3gamma = 1 Rightarrow beta + 3gamma = 0 (Equação A) , podemos substituir esse valor nas outras equações para encontrar 1 + 2beta + 3gamma = 0 (Equação B) e .
Usando a 2ª componente:
çã
E usando a 1ª componente:
çã

Passo 6

Temos agora um sistema com duas equações:
beta + 3gamma = 0 (Equação A) 2beta + 3gamma = -1 (Equação B) çãçã
Vamos subtrair a Equação A da Equação B para eliminar (2beta + 3gamma) - (beta + 3gamma) = -1 - 0 Rightarrow beta = -1 :

Passo 7

Agora que temos -1 + 3gamma = 0 Rightarrow 3gamma = 1 Rightarrow gamma = 13 , substituímos esse valor na Equação A para achar :

Resposta

Sim, o vetor pertence ao subespaço . Os coeficientes são , e .

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