Determine m para que o sistema l2 x-y+3 z=0 x+4 y-5 z=0 3 x+m y+2 z=0 tenha soluções próprias.

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações:
l 2x - y + 3z = 0 x + 4y - 5z = 0 3x + m y + 2z = 0
O objetivo é encontrar o valor de para que esse sistema tenha soluções próprias, ou seja, soluções diferentes da solução trivial . Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente determinantes de matrizes.

Passo 2

Para que o sistema tenha soluções não triviais, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser igual a zero. Primeiramente, vamos montar a matriz dos coeficientes:
A = 2 & -1 & 3 1 & 4 & -5 3 & m & 2

Passo 3

Agora, calculamos o determinante da matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . O determinante de uma matriz a & b & c d & e & f g & h & i é calculado da seguinte forma:
det(A) = 2(4 cdot 2 - (-5) cdot m) - (-1)(1 cdot 2 - (-5) cdot 3) + 3(1 cdot m - 4 cdot 3)
Onde . Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 4

Vamos simplificar cada parte do determinante:
  1. Primeiro termo:
2(8 + 5m) = 16 + 10m
  1. Segundo termo:
-(-1)(2 + 15) = 17
  1. Terceiro termo:
3(m - 12) = 3m - 36

Passo 5

Somando todos os termos:
16 + 10m + 17 + 3m - 36 = (10m + 3m) + (16 + 17 - 36) = 13m - 3

Passo 6

Para que o sistema tenha soluções próprias, o determinante deve ser igual a zero:
13m - 3 = 0
Resolvendo para 13m = 3 m = 313 :

Resposta

O valor de que torna o sistema homogêneo com soluções próprias é .

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