Determine o valor de a para que os sistemas a seguir sejam possíveis e determinados:
l-y+a z=-2 x+y+z=a a x-2 y+4 z=-5

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar o valor de l -y + a z = -2 x + y + z = a a x - 2 y + 4 z = -5 que faz com que o sistema de equações abaixo tenha uma solução única (ou seja, que ele seja possível e determinado). Estamos lidando com um sistema linear de 3 equações com 3 incógnitas ( , , e ). Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se o sistema tem uma solução única usando determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Essa matriz é formada pelos números que estão na frente das incógnitas em cada equação. No nosso caso, a matriz fica assim:
A = 0 & -1 & a 1 & 1 & 1 a & -2 & 4
Aqui, cada linha representa uma equação do sistema.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem uma solução única. Se o determinante for diferente de zero ( det(A) = 0 & -1 & a 1 & 1 & 1 a & -2 & 4 ), o sistema tem uma solução única.
Vamos calcular det(A) = 0 cdot 1 & 1 -2 & 4 - (-1) cdot 1 & 1 a & 4 + a cdot 1 & 1 a & -2 :
1 & 1 -2 & 4 = (1)(4) - (1)(-2) = 4 + 2 = 6
Usando a regra de Sarrus ou a expansão por menores, podemos calcular o determinante:
1 & 1 a & 4 = (1)(4) - (1)(a) = 4 - a
Calculando os menores:
1 & 1 a & -2 = (1)(-2) - (1)(a) = -2 - a
det(A) = 0 cdot 6 - (-1)(4 - a) + a(-2 - a) = 0 + (4 - a) - 2a - a^2
det(A) = 4 - a - 2a - a^2 = 4 - 3a - a^2
Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 4

Para que o sistema tenha uma solução única, precisamos que 4 - 3a - a^2 neq 0 :
-a^2 - 3a + 4 neq 0 a^2 + 3a - 4 neq 0
Vamos rearranjar a equação:
a = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Agora, resolvemos a equação quadrática a = -3 pm raiz9 + 162 = -3 pm raiz252 = -3 pm 52 para encontrar os valores de a = -3 + 52 = 22 = 1 a = -3 - 52 = -82 = -4 que tornam o determinante zero (essas são as que queremos excluir):
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e :
Então, temos duas soluções:
Esses são os valores que tornam o determinante zero, ou seja, e .

Resposta

Portanto, para que o sistema seja possível e determinado (com solução única), deve ser diferente de 1 e -4. Assim, qualquer valor de exceto e satisfaz a condição.

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