Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um subespaço vetorial do espaço das matrizes com entradas reais, definido por:
Nosso objetivo é encontrar um sistema de geradores para . Isso significa que queremos encontrar um conjunto de matrizes que, combinadas linearmente, conseguem gerar qualquer matriz que pertence a . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre subespaços vetoriais e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a condição que define x = y + z : y + z & y z & t . Podemos rearranjar essa equação para expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos escolher y + z & y z & t = y cdot A + z cdot B + t cdot C para isolar:
Assim, qualquer matriz em pode ser escrita como:
Agora, nosso objetivo é expressar essa matriz como uma combinação linear de matrizes fixas, ou seja, encontrar matrizes , e tais que:
Passo 3
Vamos identificar quais matrizes multiplicadas por y + z & y z & t = y cdot 1 & 1 0 & 0 + z cdot 1 & 0 1 & 0 + t cdot 0 & 0 0 & 1 , e nos dão a matriz acima. Observando cada elemento da matriz:
O elemento (1,1) é , que pode ser decomposto como .
O elemento (1,2) é , que é .
O elemento (2,1) é , que é .
O elemento (2,2) é , que é .
Então, podemos escrever:
Passo 4
Agora, identificamos as matrizes que vão gerar A = 1 & 1 0 & 0 , B = 1 & 0 1 & 0 , C = 0 & 0 0 & 1 :
Essas três matrizes são nossos candidatos a geradores de . Para confirmar que elas realmente geram todo o subespaço , precisamos verificar se qualquer matriz em pode ser escrita como uma combinação linear dessas matrizes.
Passo 5
Como já expressamos uma matriz genérica de y cdot A + z cdot B + t cdot C como:
e sabemos que , e são quaisquer números reais, isso significa que qualquer matriz em pode ser obtida combinando linearmente , e . Portanto, é um sistema de geradores para .
Resposta
Um sistema de geradores para 1 & 1 0 & 0 , 1 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 é dado pelas matrizes