Use a série de Taylor centrada em x=0 para descrever a função: f(x)=x^6 e^2 x^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar a série de Taylor centrada em para descrever a função . Isso envolve entender como expandir funções usando séries de potências, especificamente a série de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções perto de um ponto, nesse caso, . Para resolver isso, vamos precisar lembrar da fórmula da série de Taylor para , onde é alguma expressão em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor para e^u = sumn=0^infty u^nn! em torno de e^2x^3 = sumn=0^infty (2x^3)^nn! é:
e^2x^3 = sumn=0^infty 2^nx^3nn!
No nosso caso, . Então, substituindo na série, temos:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos voltar à função original f(x) = x^6 cdot sumn=0^infty 2^nx^3nn! . Já expandimos f(x) = sumn=0^infty 2^nx^6+3nn! , então podemos substituir essa série na expressão de :
Multiplicando por cada termo da série, temos:

Resposta

Portanto, a série de Taylor centrada em f(x) = sumn=0^infty 2^nn! x^6+3n para a função é:

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