Sobre Espaços Gerados, responda os seguintes itens:
a) Mostre que os vetores e geram
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que os vetores , e geram o espaço . Ou seja, queremos provar que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre combinações lineares e independência linear, além de usar determinantes para verificar se os vetores realmente geram todo o espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que os vetores geram . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como:
Onde , e são escalares. Para verificar se isso é possível para todo , precisamos ver se os vetores , e são linearmente independentes, ou seja, se a única solução para é .
Passo 3
Vamos organizar os vetores em uma matriz, colocando-os como colunas:
Agora, para verificar se , e são linearmente independentes, calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram .