Sobre Espaços Gerados, responda os seguintes itens:
a) Mostre que os vetores u1=(1,1,1), u2=(1,2,3) e u3=(1,5,8) geram R^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que os vetores , e geram o espaço . Ou seja, queremos provar que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre combinações lineares e independência linear, além de usar determinantes para verificar se os vetores realmente geram todo o espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que os vetores geram (x, y, z) = a cdot u1 + b cdot u2 + c cdot u3 . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como:
Onde , e são escalares. Para verificar se isso é possível para todo , precisamos ver se os vetores , e são linearmente independentes, ou seja, se a única solução para é .

Passo 3

Vamos organizar os vetores em uma matriz, colocando-os como colunas:
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 5 1 & 3 & 8
Agora, para verificar se , e são linearmente independentes, calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram .

Passo 4

Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot 2 & 5 3 & 8 - 1 cdot 1 & 5 1 & 8 + 1 cdot 1 & 2 1 & 3 :
2 & 5 3 & 8 = (2 cdot 8) - (5 cdot 3) = 16 - 15 = 1
Calculando cada menor:
1 & 5 1 & 8 = (1 cdot 8) - (5 cdot 1) = 8 - 5 = 3
1 & 2 1 & 3 = (1 cdot 3) - (2 cdot 1) = 3 - 2 = 1
det(A) = 1 cdot 1 - 1 cdot 3 + 1 cdot 1 = 1 - 3 + 1 = -1
Agora, substituindo na expressão do determinante:

Resposta

Como o determinante de é (diferente de zero), os vetores , e são linearmente independentes e, portanto, geram .

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