Considere o subespaço vetorial W=(x, y, z, w) in R^4 mid 2 w-x=0 e 4 z-y=0. O vetor (-2,5,-8, 108) pertence a W? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, a gente tem um exercício de álgebra linear. A pergunta é: será que o vetor pertence ao subespaço vetorial ? O subespaço é definido pelas condições e . Para resolver, vamos verificar se as coordenadas desse vetor satisfazem essas duas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do vetor dado. Ele é , então:

Passo 3

Agora, vamos verificar a primeira condição que define o subespaço 2 times 54 - (-2) = 104 + 2 = 104 + 84 = 184 = 92 : . Substituindo os valores do vetor:
Como , a primeira condição não é satisfeita.

Passo 4

Mesmo que a primeira condição já não tenha sido atendida, por completude, vamos checar a segunda condição: 4 times (-8) - 5 = -32 - 5 = -37 . Substituindo novamente:
Aqui também vemos que , então a segunda condição também não é satisfeita.

Resposta

Como o vetor não satisfaz nenhuma das condições que definem , ele não pertence ao subespaço vetorial .

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