Considere o subespaço W in R^3. W=(x, y, z) in R^3 tal que x+y+z=0, y+z=0, y-z=0 qual a dimensão de W ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um subespaço x + y + z = 0 y + z = 0 y - z = 0 de definido por três equações:
Queremos descobrir qual é a dimensão desse subespaço . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares e a ideia de base e dimensão de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema de equações que define para encontrar quais vetores pertencem a . Vamos olhar cada equação uma por uma.

Passo 3

Começando pela terceira equação:
y - z = 0
Isso significa que y + z = y + y = 2y = 0 Rightarrow y = 0 .
Agora, substituímos na segunda equação:
Se , então, pela relação , também temos .

Passo 4

Com x + y + z = x + 0 + 0 = x = 0 Rightarrow x = 0 e , substituímos esses valores na primeira equação:
Então, temos que , e .

Passo 5

Isso quer dizer que o único vetor que satisfaz todas as três equações é o vetor nulo . Nenhum outro vetor com componentes diferentes de zero pertence a .

Passo 6

Um subespaço que contém apenas o vetor nulo é chamado de subespaço trivial. A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. No caso do subespaço trivial, não há vetores (exceto o vetor nulo, que não conta para a base), então a dimensão é zero.

Resposta

A dimensão de é igual a .

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