Encontre as derivadas das seguintes funções:
& f(x) & sen(x) cos (x)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar a derivada da função f(x) = sin(x) cos(x). Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a regra do produto, que é usada quando temos a derivada de duas funções multiplicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
  • u(x) = sin(x)
  • v(x) = cos(x)
A regra do produto nos diz que a derivada de f(x) = u(x) cdot v(x) é:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Ou seja, a derivada de f(x) é a derivada de u(x) vezes v(x) mais u(x) vezes a derivada de v(x).

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de u(x) e v(x):
  • A derivada de sin(x) é cos(x), então u'(x) = cos(x).
  • A derivada de cos(x) é -sin(x), então v'(x) = -sin(x).

Passo 4

A gente substitui essas derivadas na fórmula da regra do produto:
f'(x) = cos(x) cdot cos(x) + sin(x) cdot (-sin(x))
Simplificando:
f'(x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Resposta

A derivada de f(x) = sin(x) cos(x) é:
f'(x) = cos^2(x) - sin^2(x)

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