Escreva a equação geral da circunferência C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para escrever a equação geral da circunferência . A matéria que estamos trabalhando aqui é Geometria Analítica, que estuda as formas geométricas usando o sistema de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma circunferência e como expressá-la matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma circunferência é o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo, chamado de centro. Essa distância é o raio da circunferência. A ideia é transformar essa definição em uma equação matemática.

Passo 3

A forma mais conhecida da equação da circunferência é a chamada “forma padrão” ou “forma reduzida”. Ela é dada por:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Aqui, são as coordenadas do centro da circunferência e é o raio.

Passo 4

Para chegar à equação geral, precisamos expandir essa equação padrão. Vamos multiplicar os termos:
(x - h)^2 = x^2 - 2hx + h^2
(y - k)^2 = y^2 - 2ky + k^2
Somando essas duas expressões:
x^2 - 2hx + h^2 + y^2 - 2ky + k^2 = r^2

Passo 5

Agora, vamos reorganizar os termos para obter a equação geral. Levando tudo para o lado esquerdo da igualdade:
x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + (h^2 + k^2 - r^2) = 0
Podemos simplificar isso substituindo os termos constantes por novos coeficientes:
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
Onde:
D = -2h, E = -2k, F = h^2 + k^2 - r^2

Resposta

A equação geral da circunferência x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 é:

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