Encontre as raízes e os vetores característicos da matriz C abaixo. Qual seria o sinal da forma quadrática associada a matriz C? Construa a matriz ômega. Calcule o traço da matriz ômega, compare com o traço da matriz C.
C=[ccc 3 & 0 & 0 0 & 4 & raiz3 0 & raiz3 & 6 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz chamada C = 3 & 0 & 0 0 & 4 & raiz3 0 & raiz3 & 6 :
O enunciado pede para a gente encontrar as raízes (que nesse contexto são os autovalores) e os vetores característicos (ou autovetores) dessa matriz. Além disso, precisamos analisar o sinal da forma quadrática associada a , construir uma matriz ômega, e calcular o traço dessa matriz para comparar com o traço de .
Para resolver tudo isso, vamos precisar conhecer um pouco de álgebra linear, especialmente sobre autovalores, autovetores, formas quadráticas e traço de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(C - lambda I) = 0 . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
C - lambda I = 3 - lambda & 0 & 0 0 & 4 - lambda & raiz3 0 & raiz3 & 6 - lambda
Onde det(C - lambda I) = (3 - lambda) cdot det 4 - lambda & raiz3 raiz3 & 6 - lambda é a matriz identidade e det 4 - lambda & raiz3 raiz3 & 6 - lambda = (4 - lambda)(6 - lambda) - (raiz3)^2 = (4 - lambda)(6 - lambda) - 3 representa os autovalores.
Vamos montar (4 - lambda)(6 - lambda) = 24 - 10lambda + lambda^2 :
det = 24 - 10lambda + lambda^2 - 3 = lambda^2 - 10lambda + 21
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(C - lambda I) = (3 - lambda)(lambda^2 - 10lambda + 21) = 0
Calculando o determinante lambda = 10 pm raiz(-10)^2 - 4 cdot 1 cdot 212 cdot 1 = 10 pm raiz100 - 842 = 10 pm raiz162 = 10 pm 42 :
lambda1 = 10 + 42 = 7 e lambda2 = 10 - 42 = 3
Expandindo:
Então:
Voltando ao determinante total:
Agora, resolvemos cada parte:
Resolvendo a segunda equação quadrática:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então:
Mas já tínhamos , então os autovalores são , e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Primeiro, para 0 & 0 & 0 0 & 1 & raiz3 0 & raiz3 & 3 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos raiz3 (-raiz3 v3) + 3 v3 = -3 v3 + 3 v3 = 0 :

[
v1 -raiz3 v3 v3
v1 = 0 -raiz3 1

-4 & 0 & 0 0 & -3 & raiz3 0 & raiz3 & -1 v1 v2 v3 = 0 0 0
]
Isso nos dá as equações:
  1. raiz3 ( raiz33 v3 ) - v3 = 33 v3 - v3 = 0 (não dá informação)
  2. 0 raiz33 v3 v3 v2 = 0 raiz33 1
Substituindo na terceira equação:
Isso confirma que qualquer vetor da forma é autovetor para .
Para simplificar, podemos escolher e :
Agora, para :
Resolvemos :

[


]
Isso nos dá as equações:
Substituindo na terceira equação:
Isso confirma que qualquer vetor da forma é autovetor para .
Para simplificar, podemos escolher :

Passo 4

Agora, vamos analisar o sinal da forma quadrática associada à matriz Q(x) = x^T C x = 3x1^2 + 4x2^2 + 6x3^2 + 2raiz3x2x3 . A forma quadrática é dada por:
Para determinar o sinal dessa forma quadrática, analisamos os autovalores de :
  • Se todos os autovalores forem positivos, a forma quadrática é definida positiva.
  • Se todos forem negativos, é definida negativa.
  • Se houver autovalores de sinais diferentes, é indefinida.
No nosso caso, os autovalores são , e , todos positivos. Portanto, a forma quadrática associada a é definida positiva.

Passo 5

Agora, vamos construir a matriz ômega. A matriz ômega é geralmente a matriz de formas bilineares ou relacionada à forma quadrática. Contudo, sem uma definição específica no enunciado, podemos assumir que seja a matriz simétrica associada à forma quadrática, que neste caso é Omega = partial^2 Qpartial xi partial xj mesmo.
Mas, para fins de exercício, vamos supor que a matriz ômega seja construída a partir das derivadas parciais da forma quadrática partial^2 Qpartial x1^2 = 6, partial^2 Qpartial x2^2 = 8, partial^2 Qpartial x3^2 = 12 :
partial^2 Qpartial x2 partial x3 = partial^2 Qpartial x3 partial x2 = 2raiz3
Calculando as derivadas:
Omega = 6 & 0 & 0 0 & 8 & 2raiz3 0 & 2raiz3 & 12
Assim, a matriz ômega fica:

Passo 6

Por fim, vamos calcular o traço da matriz ômega e comparar com o traço da matriz Tr(C) = 3 + 4 + 6 = 13 .
O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal.
Calculando o traço de Tr(Omega) = 6 + 8 + 12 = 26 :
Tr(Omega) = 26 e Tr(C) = 13
Calculando o traço de :
Comparação:
Portanto, o traço da matriz ômega é o dobro do traço da matriz .

Resposta

As raízes (autovalores) da matriz v1 = 0 -raiz3 1 , v2 = 0 raiz33 1 são Omega = 6 & 0 & 0 0 & 8 & 2raiz3 0 & 2raiz3 & 12 , e . Os autovetores correspondentes são:
A forma quadrática associada a é definida positiva. A matriz ômega construída é:
O traço da matriz ômega é 26, enquanto o traço da matriz é 13.

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