Encontre as raízes e os vetores característicos da matriz abaixo. Qual seria o sinal da forma quadrática associada a matriz C? Construa a matriz ômega. Calcule o traço da matriz ômega, compare com o traço da matriz C.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz chamada :
O enunciado pede para a gente encontrar as raízes (que nesse contexto são os autovalores) e os vetores característicos (ou autovetores) dessa matriz. Além disso, precisamos analisar o sinal da forma quadrática associada a , construir uma matriz ômega, e calcular o traço dessa matriz para comparar com o traço de .
Para resolver tudo isso, vamos precisar conhecer um pouco de álgebra linear, especialmente sobre autovalores, autovetores, formas quadráticas e traço de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Vamos montar :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Calculando o determinante :
Expandindo:
Então:
Voltando ao determinante total:
Agora, resolvemos cada parte:
⇒
Resolvendo a segunda equação quadrática:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então:
Mas já tínhamos , então os autovalores são , e .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Primeiro, para :
Resolvemos :
[
]
Isso nos dá as equações:
(não dá informação)
⇒
Substituindo na terceira equação:
Isso confirma que qualquer vetor da forma é autovetor para .
Para simplificar, podemos escolher e :
Agora, para :
Resolvemos :
[
]
Isso nos dá as equações:
⇒
⇒
Substituindo na terceira equação:
Isso confirma que qualquer vetor da forma é autovetor para .
Para simplificar, podemos escolher :
Passo 4
Agora, vamos analisar o sinal da forma quadrática associada à matriz . A forma quadrática é dada por:
Para determinar o sinal dessa forma quadrática, analisamos os autovalores de :
Se todos os autovalores forem positivos, a forma quadrática é definida positiva.
Se todos forem negativos, é definida negativa.
Se houver autovalores de sinais diferentes, é indefinida.
No nosso caso, os autovalores são , e , todos positivos. Portanto, a forma quadrática associada a é definida positiva.
Passo 5
Agora, vamos construir a matriz ômega. A matriz ômega é geralmente a matriz de formas bilineares ou relacionada à forma quadrática. Contudo, sem uma definição específica no enunciado, podemos assumir que seja a matriz simétrica associada à forma quadrática, que neste caso é mesmo.
Mas, para fins de exercício, vamos supor que a matriz ômega seja construída a partir das derivadas parciais da forma quadrática :
Calculando as derivadas:
Assim, a matriz ômega fica:
Passo 6
Por fim, vamos calcular o traço da matriz ômega e comparar com o traço da matriz .
O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal.
Calculando o traço de :
Calculando o traço de :
Comparação:
Portanto, o traço da matriz ômega é o dobro do traço da matriz .
Resposta
As raízes (autovalores) da matriz são , e . Os autovetores correspondentes são:
A forma quadrática associada a é definida positiva. A matriz ômega construída é:
O traço da matriz ômega é 26, enquanto o traço da matriz é 13.