Encontre as raízes e os vetores característicos da matriz abaixo. Qual seria o sinal da forma quadrática associada a matriz C? Construa a matriz ômega. Calcule o traço da matriz ômega, compare com o traço da matriz C.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz chamada C = 3 & 0 & 0 0 & 4 & raiz3 0 & raiz3 & 6 :
O enunciado pede para a gente encontrar as raízes (que nesse contexto são os autovalores) e os vetores característicos (ou autovetores) dessa matriz. Além disso, precisamos analisar o sinal da forma quadrática associada a , construir uma matriz ômega, e calcular o traço dessa matriz para comparar com o traço de .
Para resolver tudo isso, vamos precisar conhecer um pouco de álgebra linear, especialmente sobre autovalores, autovetores, formas quadráticas e traço de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(C - lambda I) = 0 . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Isso confirma que qualquer vetor da forma é autovetor para .
Para simplificar, podemos escolher e :
Agora, para :
Resolvemos :
[
]
Isso nos dá as equações:
⇒
⇒
Substituindo na terceira equação:
Isso confirma que qualquer vetor da forma é autovetor para .
Para simplificar, podemos escolher :
Passo 4
Agora, vamos analisar o sinal da forma quadrática associada à matriz Q(x) = x^T C x = 3x1^2 + 4x2^2 + 6x3^2 + 2raiz3x2x3 . A forma quadrática é dada por:
Para determinar o sinal dessa forma quadrática, analisamos os autovalores de :
Se todos os autovalores forem positivos, a forma quadrática é definida positiva.
Se todos forem negativos, é definida negativa.
Se houver autovalores de sinais diferentes, é indefinida.
No nosso caso, os autovalores são , e , todos positivos. Portanto, a forma quadrática associada a é definida positiva.
Passo 5
Agora, vamos construir a matriz ômega. A matriz ômega é geralmente a matriz de formas bilineares ou relacionada à forma quadrática. Contudo, sem uma definição específica no enunciado, podemos assumir que seja a matriz simétrica associada à forma quadrática, que neste caso é Omega = partial^2 Qpartial xi partial xj mesmo.
Mas, para fins de exercício, vamos supor que a matriz ômega seja construída a partir das derivadas parciais da forma quadrática partial^2 Qpartial x1^2 = 6, partial^2 Qpartial x2^2 = 8, partial^2 Qpartial x3^2 = 12 :