Veri que se cada uma das seguintes matrizes A é diagonalizável ou não. Quando for, determine uma matriz invertível P e determine uma matiz diagonal D tais que A= P cdot D cdot P.
A=ll 7 & 8 4 & 5 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre diagonalização de matrizes! O que a questão está pedindo é para verificar se a matriz é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar uma matriz invertível e uma matriz diagonal que satisfaçam a equação . Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear como autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Para isso, resolvemos a equação característica:
7 & 8 4 & 5
Onde A - lambda I = 7 - lambda & 8 4 & 5 - lambda é a matriz identidade e det(A - lambda I) = (7 - lambda)(5 - lambda) - (8 cdot 4) = (35 - 7lambda - 5lambda + lambda^2) - 32 = lambda^2 - 12lambda + 3 representa os autovalores.
Para a matriz lambda^2 - 12lambda + 3 = 0 , temos:
lambda = 12 pm raiz144 - 122 = 12 pm raiz1322 = 12 pm 2raiz332 = 6 pm raiz33
Calculando o determinante:
lambda1 = 6 + raiz33, lambda2 = 6 - raiz33
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:

Passo 3

Com os autovalores encontrados, vamos determinar os autovetores correspondentes a cada 7 - (6 + raiz33) & 8 4 & 5 - (6 + raiz33) x y = 0 0 .
Para 1 - raiz33 & 8 4 & -1 - raiz33 x y = 0 0 :
Construímos o sistema (1 - raiz33)x + 8y = 0 implies y = (raiz33 - 1)8x :
v1 = 8 raiz33 - 1
Simplificando:
1 + raiz33 & 8 4 & -1 + raiz33 x y = 0 0
Resolvendo a primeira equação:
(1 + raiz33)x + 8y = 0 implies y = -(1 + raiz33)8x
Então, um autovetor correspondente a v2 = 8 - (1 + raiz33) é:
Para :
Seguindo o mesmo processo:
Resolvendo a primeira equação:
Então, um autovetor correspondente a é:

Passo 4

Agora, vamos montar as matrizes P = 8 & 8 raiz33 - 1 & - (1 + raiz33) e D = 6 + raiz33 & 0 0 & 6 - raiz33 :
  • Matriz : composta pelos autovetores e como colunas.
  • Matriz : matriz diagonal com os autovalores e na diagonal.

Passo 5

Por último, precisamos verificar se a matriz é invertível. Isso acontece se os autovalores forem distintos, o que é o caso aqui, já que . Portanto, a matriz é diagonalizável.

Resposta

A matriz P = 8 & 8 raiz33 - 1 & - (1 + raiz33) , D = 6 + raiz33 & 0 0 & 6 - raiz33 é diagonalizável. Uma matriz invertível e uma matriz diagonal que satisfazem são:

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