Veri que se cada uma das seguintes matrizes A é diagonalizável ou não. Quando for, determine uma matriz invertível
e determine uma matiz diagonal
tais que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre diagonalização de matrizes! O que a questão está pedindo é para verificar se a matriz
é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar uma matriz invertível
e uma matriz diagonal
que satisfaçam a equação
. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear como autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Para a matriz
, temos:
Calculando o determinante:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:
Passo 3
Com os autovalores encontrados, vamos determinar os autovetores correspondentes a cada
.
Para
:
Construímos o sistema
:
Simplificando:
Resolvendo a primeira equação:
Então, um autovetor correspondente a
é:
Para
:
Seguindo o mesmo processo:
Resolvendo a primeira equação:
Então, um autovetor correspondente a
é:
Passo 4
Agora, vamos montar as matrizes
e
:
- Matriz
: composta pelos autovetores e como colunas.
- Matriz
: matriz diagonal com os autovalores e na diagonal.
Passo 5
Por último, precisamos verificar se a matriz
é invertível. Isso acontece se os autovalores forem distintos, o que é o caso aqui, já que
. Portanto, a matriz
é diagonalizável.
Resposta
A matriz
é diagonalizável. Uma matriz invertível
e uma matriz diagonal
que satisfazem
são: