Veri que se cada uma das seguintes matrizes A é diagonalizável ou não. Quando for, determine uma matriz invertível e determine uma matiz diagonal tais que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre diagonalização de matrizes! O que a questão está pedindo é para verificar se a matriz é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar uma matriz invertível e uma matriz diagonal que satisfaçam a equação . Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear como autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Para a matriz , temos:
Calculando o determinante:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:

Passo 3

Com os autovalores encontrados, vamos determinar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Construímos o sistema :
Simplificando:
Resolvendo a primeira equação:
Então, um autovetor correspondente a é:
Para :
Seguindo o mesmo processo:
Resolvendo a primeira equação:
Então, um autovetor correspondente a é:

Passo 4

Agora, vamos montar as matrizes e :
  • Matriz : composta pelos autovetores e como colunas.
  • Matriz : matriz diagonal com os autovalores e na diagonal.

Passo 5

Por último, precisamos verificar se a matriz é invertível. Isso acontece se os autovalores forem distintos, o que é o caso aqui, já que . Portanto, a matriz é diagonalizável.

Resposta

A matriz é diagonalizável. Uma matriz invertível e uma matriz diagonal que satisfazem são:

Exercícios relacionados

Considere o subespaço de que é o plano de equação .
Se , calcule e tais que .
Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços:
Veri que se cada uma das seguintes matrizes A é diagonalizável ou não. Quando for, determine uma matriz invertível e determine uma matiz diagonal tais que .
Veri que se cada uma das seguintes matrizes A é diagonalizável ou não. Quando for, determine uma matriz invertível e determine uma matiz diagonal tais que .