Veri que se cada uma das seguintes matrizes A é diagonalizável ou não. Quando for, determine uma matriz invertível e determine uma matiz diagonal tais que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre diagonalização de matrizes! O que a questão está pedindo é para verificar se a matriz é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar uma matriz invertível e uma matriz diagonal que satisfaçam a equação . Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear como autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Para a matriz , temos:
Calculando o determinante:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:
Passo 3
Com os autovalores encontrados, vamos determinar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Construímos o sistema :
Simplificando:
Resolvendo a primeira equação:
Então, um autovetor correspondente a é:
Para :
Seguindo o mesmo processo:
Resolvendo a primeira equação:
Então, um autovetor correspondente a é:
Passo 4
Agora, vamos montar as matrizes e :
Matriz : composta pelos autovetores e como colunas.
Matriz : matriz diagonal com os autovalores e na diagonal.
Passo 5
Por último, precisamos verificar se a matriz é invertível. Isso acontece se os autovalores forem distintos, o que é o caso aqui, já que . Portanto, a matriz é diagonalizável.
Resposta
A matriz é diagonalizável. Uma matriz invertível e uma matriz diagonal que satisfazem são: