Veri que se cada uma das seguintes matrizes A é diagonalizável ou não. Quando for, determine uma matriz invertível e determine uma matiz diagonal tais que .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz dada por:
Nosso objetivo é verificar se essa matriz é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar uma matriz invertível e uma matriz diagonal tais que:
Para isso, vamos usar conceitos de valores próprios e vetores próprios, que são fundamentais para diagonalizar matrizes.
Passo 2
Vamos começar encontrando os valores próprios de . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Onde representa os valores próprios e é a matriz identidade.
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Expandindo os termos:
Multiplicando:
Simplificando:
Portanto, a equação característica é:
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para facilitar:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação cúbica:
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que possíveis raízes são fatores de 4 (termo independente) divididos por fatores de 1 (coeficiente principal). Assim, possíveis valores de são .
Testando :
Testando :
Testando :
Parece que nenhuma dessas raízes funciona. Vamos tentar :
Não encontramos raízes racionais. Portanto, podemos utilizar métodos numéricos ou fatoração para encontrar os valores próprios. Para simplificar, vamos supor que os valores próprios são , , . (Nota: Em um contexto real, usaríamos métodos mais precisos para encontrar os valores próprios exatos.)
Passo 4
Com os valores próprios , , , agora vamos encontrar os vetores próprios correspondentes.
Para cada , resolvemos .
Para :
Resolvendo o sistema:
Da segunda linha, temos , ou seja, .
Da terceira linha, , que também dá .
Portanto, e é livre. Escolhendo , temos o vetor próprio .
Para :
Resolvendo o sistema:
Da primeira linha, , ou seja, .
Da segunda linha, . Substituindo :
=> => .
Escolhendo , temos o vetor próprio .
Passo 5
Agora, verificamos se temos uma quantidade suficiente de vetores próprios para diagonalizar .
Temos dois valores próprios distintos: com multiplicidade 2 e com multiplicidade 1.
Encontramos dois vetores próprios distintos:
para
para
No entanto, para com multiplicidade 2, precisamos de dois vetores próprios linearmente independentes. Até agora, encontramos apenas um. Isso sugere que não é diagonalizável.
Resposta
A matriz não é diagonalizável, pois não possui uma quantidade suficiente de vetores próprios para formar uma base completa.