Determinar a equação geral do plano perpendicular à reta : e que contenha o ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que é perpendicular a uma reta dada pelas equações e , e que passa pelo ponto . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma reta ser perpendicular a um plano. Se uma reta é perpendicular a um plano, isso significa que o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal do plano. Então, precisamos encontrar o vetor diretor da reta .
Passo 3
A reta está parametrizada pelas equações e . Podemos escrever essas equações na forma paramétrica padrão:
Aqui, t é o parâmetro.
Passo 4
O vetor diretor da reta r pode ser obtido observando os coeficientes de t nas equações paramétricas. Então, o vetor diretor d é:
d = 1 3 4
Passo 5
Já que o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal do plano, podemos usar d como o vetor normal n do plano. Então:
n = 1 3 4
Passo 6
Agora, vamos usar a equação geral do plano, que é:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
onde (x0, y0, z0) é um ponto no plano e (a, b, c) são as componentes do vetor normal.
Passo 7
Sabemos que o ponto A(3,1,2) está no plano, e o vetor normal é n = (1, 3, 4). Substituindo na equação do plano: