Determinar a equação geral do plano perpendicular à reta r : ly=3 x+2 z=4 x-2 e que contenha o ponto A(3,1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que é perpendicular a uma reta r dada pelas equações y=3x+2 e z=4x-2, e que passa pelo ponto A(3,1,2). Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma reta ser perpendicular a um plano. Se uma reta é perpendicular a um plano, isso significa que o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal do plano. Então, precisamos encontrar o vetor diretor da reta r.

Passo 3

A reta r está parametrizada pelas equações y=3x+2 e z=4x-2. Podemos escrever essas equações na forma paramétrica padrão:
x = t y = 3t + 2 z = 4t - 2
Aqui, t é o parâmetro.

Passo 4

O vetor diretor da reta r pode ser obtido observando os coeficientes de t nas equações paramétricas. Então, o vetor diretor d é:
d = 1 3 4

Passo 5

Já que o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal do plano, podemos usar d como o vetor normal n do plano. Então:
n = 1 3 4

Passo 6

Agora, vamos usar a equação geral do plano, que é:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
onde (x0, y0, z0) é um ponto no plano e (a, b, c) são as componentes do vetor normal.

Passo 7

Sabemos que o ponto A(3,1,2) está no plano, e o vetor normal é n = (1, 3, 4). Substituindo na equação do plano:
1(x - 3) + 3(y - 1) + 4(z - 2) = 0

Passo 8

Vamos simplificar essa equação:
x - 3 + 3y - 3 + 4z - 8 = 0
x + 3y + 4z - 14 = 0

Resposta

A equação geral do plano é x + 3y + 4z - 14 = 0.

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