Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base para três conjuntos de matrizes: , e , onde:
Vamos precisar entender o que são matrizes simétricas e anti-simétricas, além de saber como encontrar uma base para subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são matrizes simétricas e anti-simétricas.
Matriz Simétrica (): Uma matriz é simétrica se for igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que os elementos simétricos em relação à diagonal principal são iguais.
Matriz Anti-simétrica (): Uma matriz é anti-simétrica se sua transposta for igual ao negativo da matriz, ou seja, . Isso implica que os elementos na diagonal principal devem ser zero, já que só é possível se .
Passo 3
Vamos começar encontrando uma base para , o conjunto de matrizes simétricas de .
Uma matriz simétrica genérica de tem a forma:
Aqui, os elementos estão na diagonal, e são os elementos acima da diagonal que se repetem abaixo.
Como temos 6 elementos livres (), a dimensão de é 6. Portanto, precisamos de 6 matrizes que sejam simétricas e que sejam linearmente independentes para formar uma base.
Cada uma dessas matrizes representa um dos elementos livres na matriz simétrica geral. Elas são linearmente independentes e qualquer matriz simétrica pode ser escrita como uma combinação linear dessas matrizes.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma base para B = 0 & g & h -g & 0 & i -h & -i & 0 , o conjunto de matrizes anti-simétricas de .
Uma matriz anti-simétrica genérica de tem a forma:
Aqui, os elementos da diagonal são zero, e são os elementos acima da diagonal que determinam os elementos abaixo.
Como temos 3 elementos livres (), a dimensão de é 3. Portanto, precisamos de 3 matrizes anti-simétricas linearmente independentes para formar uma base.
Essas três matrizes são anti-simétricas e são linearmente independentes. Qualquer matriz anti-simétrica pode ser escrita como uma combinação linear dessas matrizes.
Passo 7
Por fim, vamos determinar A^t = A e A^t = -A , ou seja, as matrizes que são tanto simétricas quanto anti-simétricas.
Se , então:
Isso implica que , o que só é possível se for a matriz nula. Portanto, a única matriz que está em é a matriz zero.
Resposta
Uma base para é , uma base para é , e a interseção contém apenas a matriz nula.