(2,5) Considere os subespaços vetoriais de M3(R)
U=A in M3(R) / A^t=A W=A in M3(R) / A^t=-A
Determine uma base para os subespaços U, W e U cap W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma base para três conjuntos de matrizes: U = A in M3(R) mid A^t = A (matrizes simétricas) , W = A in M3(R) mid A^t = -A (matrizes anti-simétricas) e , onde:
é
é
Vamos precisar entender o que são matrizes simétricas e anti-simétricas, além de saber como encontrar uma base para subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são matrizes simétricas e anti-simétricas.
  • Matriz Simétrica ( ): Uma matriz é simétrica se for igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que os elementos simétricos em relação à diagonal principal são iguais.
  • Matriz Anti-simétrica ( ): Uma matriz é anti-simétrica se sua transposta for igual ao negativo da matriz, ou seja, . Isso implica que os elementos na diagonal principal devem ser zero, já que só é possível se .

Passo 3

Vamos começar encontrando uma base para A = a & b & c b & d & e c & e & f , o conjunto de matrizes simétricas de .
Uma matriz simétrica genérica de tem a forma:
Aqui, os elementos estão na diagonal, e são os elementos acima da diagonal que se repetem abaixo.
Como temos 6 elementos livres ( ), a dimensão de é 6. Portanto, precisamos de 6 matrizes que sejam simétricas e que sejam linearmente independentes para formar uma base.

Passo 4

Vamos construir a base para E1 &= 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , E2 = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , E3 &= 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 , E4 = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 , E5 &= 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 , E6 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 :
Cada uma dessas matrizes representa um dos elementos livres na matriz simétrica geral. Elas são linearmente independentes e qualquer matriz simétrica pode ser escrita como uma combinação linear dessas matrizes.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma base para B = 0 & g & h -g & 0 & i -h & -i & 0 , o conjunto de matrizes anti-simétricas de .
Uma matriz anti-simétrica genérica de tem a forma:
Aqui, os elementos da diagonal são zero, e são os elementos acima da diagonal que determinam os elementos abaixo.
Como temos 3 elementos livres ( ), a dimensão de é 3. Portanto, precisamos de 3 matrizes anti-simétricas linearmente independentes para formar uma base.

Passo 6

Vamos construir a base para F1 &= 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , F2 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 , F3 &= 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & -1 & 0 :
Essas três matrizes são anti-simétricas e são linearmente independentes. Qualquer matriz anti-simétrica pode ser escrita como uma combinação linear dessas matrizes.

Passo 7

Por fim, vamos determinar A^t = A e A^t = -A , ou seja, as matrizes que são tanto simétricas quanto anti-simétricas.
Se , então:
Isso implica que , o que só é possível se for a matriz nula. Portanto, a única matriz que está em é a matriz zero.

Resposta

Uma base para é , uma base para é , e a interseção contém apenas a matriz nula.

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