Uma matriz
transmite uma palavra de
letras em que cada elemento da matriz representa uma letra do alfabeto.
A fim de dificultar a leitura da palavra, por se tratar de informação secreta, a matriz
.
Sabendo que a matriz B
A é igual a
determine:
a) A soma dos elementos da matriz A.
b) A inversa da matriz A.
A fim de dificultar a leitura da palavra, por se tratar de informação secreta, a matriz
Sabendo que a matriz B
a) A soma dos elementos da matriz A.
b) A inversa da matriz A.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes, que são tabelas de números organizadas em linhas e colunas. Aqui, temos uma matriz
de ordem 2 (ou seja, 2 linhas e 2 colunas) que representa uma palavra secreta de 4 letras. Para esconder essa palavra, multiplicamos
pela matriz
, que é dada por:
O resultado dessa multiplicação é a matriz codificada:
Para resolver as partes (a) e (b) do exercício, vamos precisar usar conceitos de multiplicação de matrizes e matriz inversa.
Passo 2
Primeiro, queremos encontrar a matriz
. Sabemos que:
Para isolar
, precisamos “desfazer” a multiplicação por
. Isso é feito multiplicando ambos os lados pela matriz inversa de
, que chamamos de
. Assim:
Passo 3
Agora, vamos calcular a inversa de
,
. A fórmula para a inversa de uma matriz 2x2 é:
Onde
são os elementos da matriz
. Calculando o determinante de
:
Então, a inversa de
é:
Passo 4
Agora, multiplicamos
pela matriz codificada para encontrar
:
Vamos fazer a multiplicação passo a passo:
Para o elemento na primeira linha e primeira coluna de
:
Para o elemento na primeira linha e segunda coluna de
:
Para o elemento na segunda linha e primeira coluna de
:
Para o elemento na segunda linha e segunda coluna de
:
Então, a matriz
é:
Resposta
a) A soma dos elementos da matriz
é
.
b) A inversa da matriz
é:
Primeiro, calculamos o determinante de
:
Então, a inversa de
é:
Podemos simplificar as frações: