Uma matriz A de ordem ^2 transmite uma palavra de ^4 letras em que cada elemento da matriz representa uma letra do alfabeto.
A fim de dificultar a leitura da palavra, por se tratar de informação secreta, a matriz A^ é mué B=[cc3 & -1 -5 & 2] obtendo-se a matriz codificada B cdot A.
Sabendo que a matriz B cdotA é igual a [cc-10 & 27 21 & -39] determine:
a) A soma dos elementos da matriz A.
b) A inversa da matriz A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes, que são tabelas de números organizadas em linhas e colunas. Aqui, temos uma matriz B = 3 & -1 -5 & 2 de ordem 2 (ou seja, 2 linhas e 2 colunas) que representa uma palavra secreta de 4 letras. Para esconder essa palavra, multiplicamos B cdot A = -10 & 27 21 & -39 pela matriz , que é dada por:
O resultado dessa multiplicação é a matriz codificada:
Para resolver as partes (a) e (b) do exercício, vamos precisar usar conceitos de multiplicação de matrizes e matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, queremos encontrar a matriz B cdot A = -10 & 27 21 & -39 . Sabemos que:
A = B^-1 cdot (B cdot A) = B^-1 cdot -10 & 27 21 & -39
Para isolar , precisamos “desfazer” a multiplicação por . Isso é feito multiplicando ambos os lados pela matriz inversa de , que chamamos de . Assim:

Passo 3

Agora, vamos calcular a inversa de B^-1 = 1det(B) d & -b -c & a , a & b c & d . A fórmula para a inversa de uma matriz 2x2 é:
det(B) = (3)(2) - (-1)(-5) = 6 - 5 = 1
Onde B^-1 = 11 2 & 1 5 & 3 = 2 & 1 5 & 3 são os elementos da matriz . Calculando o determinante de :
Então, a inversa de é:

Passo 4

Agora, multiplicamos A = 2 & 1 5 & 3 cdot -10 & 27 21 & -39 pela matriz codificada para encontrar (2 times -10) + (1 times 21) = -20 + 21 = 1 :
(2 times 27) + (1 times -39) = 54 - 39 = 15
Vamos fazer a multiplicação passo a passo:
Para o elemento na primeira linha e primeira coluna de (5 times -10) + (3 times 21) = -50 + 63 = 13 :
(5 times 27) + (3 times -39) = 135 - 117 = 18
Para o elemento na primeira linha e segunda coluna de A = 1 & 15 13 & 18 :
Para o elemento na segunda linha e primeira coluna de :
Para o elemento na segunda linha e segunda coluna de :
Então, a matriz é:

Resposta

a) A soma dos elementos da matriz det(A) = (1)(18) - (15)(13) = 18 - 195 = -177 é A^-1 = 1-177 18 & -15 -13 & 1 = -18177 & 15177 13177 & -1177 .
b) A inversa da matriz A^-1 = -659 & 559 13177 & -1177 é:
Primeiro, calculamos o determinante de :
Então, a inversa de é:
Podemos simplificar as frações:

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