Considere a superfície de equação z^2 + 2 x^2 + y^2 = 3. Classifique e esboce a intersecção dessa superfície com:
Com o plano xz.

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos a superfície com a equação e queremos descobrir como ela se comporta quando cortamos com o plano xz (que é quando . Vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies quadráticas e interseções entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície original: . Essa é uma equação que representa um elipsoide, que é tipo uma bola alongada nas direções dos eixos.

Passo 3

Agora, queremos ver o que acontece quando essa superfície é cortada pelo plano xz. No plano xz, o valor de é sempre zero ( ). Então, vamos substituir por 0 na equação da superfície.

Passo 4

Substituindo na equação , temos:

Passo 5

Essa nova equação é a equação da interseção da superfície com o plano xz. Vamos analisar que tipo de curva ela representa.

Passo 6

A equação é uma equação de uma elipse no plano xz. Isso porque temos os termos quadráticos de e com coeficientes diferentes e ambos positivos.

Passo 7

Para entender melhor, podemos reescrever a equação da elipse na forma padrão dividindo todos os termos por 3:

Passo 8

Agora, vemos que a elipse tem eixo maior alinhado com o eixo (porque 3 é maior que 1.5) e eixo menor alinhado com o eixo .

Resposta

A interseção da superfície com o plano xz é uma elipse, cuja equação é . O esboço dessa interseção no plano xz mostra uma elipse com eixo maior ao longo do eixo e eixo menor ao longo do eixo .

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