Considere a superfície de equação
. Classifique e esboce a intersecção dessa superfície com:
Com o plano xz.
Com o plano xz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a superfície de equação
. A matéria que estamos lidando aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de superfícies e suas intersecções com planos. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como encontrar a intersecção de uma superfície com um plano, e classificar que tipo de curva resulta dessa interseção.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o plano com o qual vamos fazer a intersecção. O enunciado pede a intersecção com o plano
. O plano
é aquele onde a coordenada
é sempre zero. Ou seja, no plano
,
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na equação da superfície para encontrar a equação da curva de intersecção. A equação da superfície é:
Substituindo
:
Passo 4
A equação resultante
é a equação da curva de intersecção no plano
. Essa é a equação de uma parábola que abre para cima no eixo
.
Passo 5
Para classificar essa curva, vemos que é uma parábola porque tem a forma
, que é a forma padrão de uma parábola no plano
.
Passo 6
Para esboçar a intersecção, imagine o plano
(onde
) cortando a superfície
. A curva resultante é uma parábola que abre para cima a partir da origem, seguindo a direção positiva do eixo
.
Resposta
A intersecção da superfície
com o plano
é uma parábola de equação
, que abre para cima no eixo
.
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. Classifique e esboce a intersecção dessa superfície com:
Com o plano xy.
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Com plano yz.
Com plano yz.
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Com o plano xz.
Com o plano xz.