Considere a superfície
gerada pela rotação da curva
, em torno do eixo
, parametrizada por
Indique, com limites de integração, as integrais repetidas que calculam a massa de
, sabendo que a densidade é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a massa da superfície
gerada pela rotação da curva
em torno do eixo
. A matéria envolvida aqui é cálculo de superfícies paramétricas e integração dupla para encontrar a massa, usando a densidade dada
. Vamos precisar parametrizar a superfície, encontrar o elemento de área
e montar a integral dupla com os limites apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para calcular a massa de uma superfície parametrizada, usamos a integral dupla da densidade vezes o elemento de área sobre a superfície, ou seja:
Aqui,
é o elemento de área da superfície
parametrizada por
.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos calcular os vetores tangentes da parametrização
em relação a
e
, e depois o produto vetorial desses vetores. Vamos calcular:
O produto vetorial
nos dá o vetor normal à superfície, e o módulo desse vetor é o elemento de área
.
Passo 4
Agora, vamos expressar a densidade
em termos dos parâmetros
e
usando a parametrização:
Assim, a densidade fica:
Passo 5
Por fim, estabelecemos os limites de integração para
e
. Ambos variam de
a
. Então, a integral para a massa fica:
Resposta
A massa de
é dada pela integral dupla
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