Considere a superfície S gerada pela rotação da curva alpha(t)=(sen(t)+2,0, t), t in[0,2 pi], em torno do eixo O z, parametrizada por
X(t, theta)=([sen(t)+2] cos theta,[sen(t)+2] sen theta, t), (t, theta) in[0,2 pi] times[0,2 pi]
Indique, com limites de integração, as integrais repetidas que calculam a massa de S, sabendo que a densidade é sigma(x, y, z)=x^2+sen^2 z+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a massa da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo . A matéria envolvida aqui é cálculo de superfícies paramétricas e integração dupla para encontrar a massa, usando a densidade dada . Vamos precisar parametrizar a superfície, encontrar o elemento de área e montar a integral dupla com os limites apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular a massa de uma superfície parametrizada, usamos a integral dupla da densidade vezes o elemento de área sobre a superfície, ou seja:
Massa = integral duplaS sigma , dS
Aqui, é o elemento de área da superfície parametrizada por .

Passo 3

Para encontrar Xt = partial Xpartial t = (cos(t) cos theta, cos(t) sin theta, 1) , precisamos calcular os vetores tangentes da parametrização Xtheta = partial Xpartial theta = (-[sin(t)+2]sin theta, [sin(t)+2]cos theta, 0) em relação a e , e depois o produto vetorial desses vetores. Vamos calcular:
O produto vetorial nos dá o vetor normal à superfície, e o módulo desse vetor é o elemento de área .

Passo 4

Agora, vamos expressar a densidade x = [sin(t) + 2]cos theta em termos dos parâmetros y = [sin(t) + 2]sin theta e z = t usando a parametrização:
sigma(t, theta) = ([sin(t) + 2]cos theta)^2 + sin^2 t + 1
Assim, a densidade fica:

Passo 5

Por fim, estabelecemos os limites de integração para Massa = integral0^2pi integral0^2pi ( ([sin(t) + 2]cos theta)^2 + sin^2 t + 1 ) |Xt times Xtheta| , dtheta , dt e . Ambos variam de a . Então, a integral para a massa fica:

Resposta

A massa de Massa = integral0^2pi integral0^2pi ( ([sin(t) + 2]cos theta)^2 + sin^2 t + 1 ) |Xt times Xtheta| , dtheta , dt é dada pela integral dupla

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