Considere a superfície gerada pela rotação da curva , em torno do eixo , parametrizada por
Indique, com limites de integração, as integrais repetidas que calculam a massa de , sabendo que a densidade é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a massa da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo . A matéria envolvida aqui é cálculo de superfícies paramétricas e integração dupla para encontrar a massa, usando a densidade dada . Vamos precisar parametrizar a superfície, encontrar o elemento de área e montar a integral dupla com os limites apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular a massa de uma superfície parametrizada, usamos a integral dupla da densidade vezes o elemento de área sobre a superfície, ou seja:
Aqui, é o elemento de área da superfície parametrizada por .

Passo 3

Para encontrar , precisamos calcular os vetores tangentes da parametrização em relação a e , e depois o produto vetorial desses vetores. Vamos calcular:
O produto vetorial nos dá o vetor normal à superfície, e o módulo desse vetor é o elemento de área .

Passo 4

Agora, vamos expressar a densidade em termos dos parâmetros e usando a parametrização:
Assim, a densidade fica:

Passo 5

Por fim, estabelecemos os limites de integração para e . Ambos variam de a . Então, a integral para a massa fica:

Resposta

A massa de é dada pela integral dupla

Exercícios relacionados

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Use o Teorema do Confronto para mostrar que:
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Mostre que o campo vetorial não pode ser escrito como o rotacional de outro campo vetorial, ou seja,