Mostre que o campo vetorial
não pode ser escrito como o rotacional de outro campo vetorial, ou seja,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
e precisa provar que ele não pode ser escrito como o rotacional de outro campo vetorial
, ou seja,
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre rotacionais e divergências. Para resolver isso, vamos precisar entender a relação entre o rotacional de um campo e a sua divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de um conceito importante: a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero. Em outras palavras, se
, então
. Isso é uma propriedade fundamental no cálculo vetorial e vai ser a chave para a nossa prova.
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência do nosso campo
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Aplicando isso ao nosso
:
Vamos calcular cada termo:
Então:
Passo 4
Agora, observa que
. Para
ser o rotacional de algum campo
, a divergência de
teria que ser zero para todos os pontos
. Mas, olhando para
, isso só seria zero se
ou
, o que não é verdade para todos os pontos no espaço. Portanto, a divergência de
não é identicamente zero.
Resposta
Como
em geral, o campo vetorial
não pode ser escrito como o rotacional de outro campo vetorial. Ou seja,
.
Exercícios relacionados
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Considere a superfície
gerada pela rotação da curva
, em torno do eixo
, parametrizada por
Indique, com limites de integração, as integrais repetidas que calculam a massa de
, sabendo que a densidade é
.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Em cada item, dê exemplos de conjuntos
satisfazendo a igualdade abaixo: