Mostre que o campo vetorial não pode ser escrito como o rotacional de outro campo vetorial, ou seja,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial e precisa provar que ele não pode ser escrito como o rotacional de outro campo vetorial , ou seja, . Isso está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre rotacionais e divergências. Para resolver isso, vamos precisar entender a relação entre o rotacional de um campo e a sua divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um conceito importante: a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero. Em outras palavras, se , então . Isso é uma propriedade fundamental no cálculo vetorial e vai ser a chave para a nossa prova.

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência do nosso campo . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Aplicando isso ao nosso :
Vamos calcular cada termo:
Então:

Passo 4

Agora, observa que . Para ser o rotacional de algum campo , a divergência de teria que ser zero para todos os pontos . Mas, olhando para , isso só seria zero se ou , o que não é verdade para todos os pontos no espaço. Portanto, a divergência de não é identicamente zero.

Resposta

Como em geral, o campo vetorial não pode ser escrito como o rotacional de outro campo vetorial. Ou seja, .

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