Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos aqui é sobre sequências numéricas. Precisamos descobrir se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, vamos achar qual é esse limite. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites de sequências e como lidar com termos que crescem de maneiras diferentes, como polinômios e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os dois termos da sequência separadamente:
e
.
Passo 3
Começando com o primeiro termo,
, vamos simplificar isso dividindo numerador e denominador por
:
Quando
tende para o infinito,
tende a 0, então o limite desse termo é:
Passo 4
Agora, vamos para o segundo termo,
. Aqui, temos um numerador que cresce linearmente e um denominador que cresce exponencialmente. Sabemos que funções exponenciais crescem muito mais rápido que funções lineares. Então, o limite desse termo quando
tende ao infinito é 0:
Passo 5
Agora, juntando os dois resultados, nossa sequência original é a diferença dos dois termos:
Resposta
A sequência converge e o seu limite é 2.
Exercícios relacionados
Considere a superfície
gerada pela rotação da curva
, em torno do eixo
, parametrizada por
Indique, com limites de integração, as integrais repetidas que calculam a massa de
, sabendo que a densidade é
.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Mostre que o campo vetorial
não pode ser escrito como o rotacional de outro campo vetorial, ou seja,
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.