Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
{(2n)/(n+1) - (n+1)/(2^n)}_{n ≥ 1}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos aqui é sobre sequências numéricas. Precisamos descobrir se a sequência {(2n)/(n+1) - (n+1)/(2^n)}_{n ≥ 1} converge ou diverge. Se ela convergir, vamos achar qual é esse limite. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites de sequências e como lidar com termos que crescem de maneiras diferentes, como polinômios e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os dois termos da sequência separadamente: e .

Passo 3

Começando com o primeiro termo, , vamos simplificar isso dividindo numerador e denominador por n:
Quando n tende para o infinito, 1/n tende a 0, então o limite desse termo é:

Passo 4

Agora, vamos para o segundo termo, . Aqui, temos um numerador que cresce linearmente e um denominador que cresce exponencialmente. Sabemos que funções exponenciais crescem muito mais rápido que funções lineares. Então, o limite desse termo quando n tende ao infinito é 0:

Passo 5

Agora, juntando os dois resultados, nossa sequência original é a diferença dos dois termos:

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 2.

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