Considere a superfície parametrizada por
r(u, v)=(2 cos (u) cos (v), 2 sen(u) cos (v), 2 sen(v)), 0 <= u <= pi2, 0 <= v <= pi2
Identifique as curva de grade correspondente a u=pi / 4 e a curva de grade correspondente a v=pi / 3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma superfície parametrizada por com e . A questão pede para identificar as curvas de grade correspondentes a e a . Então, vamos trabalhar com parametrização de superfícies e curvas de nível, entendendo como fixar um parâmetro para encontrar a curva na superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas curvas de grade. Em uma superfície parametrizada por duas variáveis, e , as curvas de grade são obtidas mantendo um dos parâmetros fixo e variando o outro. Isso nos dá duas famílias de curvas: uma onde é constante e outra onde é constante.

Passo 3

Vamos começar com a curva de grade onde r(pi4, v) = (2 cos(pi4) cos(v),, 2 sen(pi4) cos(v),, 2 sen(v)) . Isso significa que vamos fixar r(pi4, v) = (2 cdot raiz22 cos(v),, 2 cdot raiz22 cos(v),, 2 sen(v)) = (raiz2 cos(v),, raiz2 cos(v),, 2 sen(v)) nesse valor e deixar variar dentro do intervalo dado ( ). Substituindo na parametrização original, temos:
Sabemos que , então podemos simplificar:

Passo 4

Agora, vamos identificar a curva de grade onde r(u, pi3) = (2 cos(u) cos(pi3),, 2 sen(u) cos(pi3),, 2 sen(pi3)) . Nesse caso, mantemos r(u, pi3) = (2 cos(u) cdot 12,, 2 sen(u) cdot 12,, 2 cdot raiz32) = (cos(u),, sen(u),, raiz3) fixo e deixamos variar dentro do intervalo ( ). Substituindo na parametrização original, temos:
Sabemos que e , então simplificamos:

Resposta

As curvas de grade são:
  1. Para r(pi4, v) = (raiz2 cos(v), raiz2 cos(v), 2 sen(v)), 0 <= v <= pi2 :
  1. Para r(u, pi3) = (cos(u), sen(u), raiz3), 0 <= u <= pi2 :

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