Considere a superfície parametrizada por
Identifique as curva de grade correspondente a
e a curva de grade correspondente a
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma superfície parametrizada por com
e
. A questão pede para identificar as curvas de grade correspondentes a
e a
. Então, vamos trabalhar com parametrização de superfícies e curvas de nível, entendendo como fixar um parâmetro para encontrar a curva na superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são essas curvas de grade. Em uma superfície parametrizada por duas variáveis,
e
, as curvas de grade são obtidas mantendo um dos parâmetros fixo e variando o outro. Isso nos dá duas famílias de curvas: uma onde
é constante e outra onde
é constante.
Passo 3
Vamos começar com a curva de grade onde
. Isso significa que vamos fixar
nesse valor e deixar
variar dentro do intervalo dado (
). Substituindo
na parametrização original, temos:
Sabemos que , então podemos simplificar:
Passo 4
Agora, vamos identificar a curva de grade onde
. Nesse caso, mantemos
fixo e deixamos
variar dentro do intervalo (
). Substituindo
na parametrização original, temos:
Sabemos que
e , então simplificamos:
Resposta
As curvas de grade são:
- Para
:
- Para
: