Considere a superfície como sendo a porção do gráfico da função , delimitada pelos planos e e pela elipse .
a) Obtenha uma parametrização para o bordo de , orientado positivamente.
b) Use a definição para calcular a integral de linha do campo vetorial , sobre do bordo de , orientado positivamente.
c) Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha do campo vetorial , sobre do bordo de , orientado positivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma superfície que é parte do gráfico da função . Essa superfície está limitada pelos planos , e pela elipse . O conteúdo aqui envolve parametrização de curvas, integrais de linha e o teorema de Stokes. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar o bordo da superfície e como calcular integrais de linha usando a definição e o teorema de Stokes.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): obter uma parametrização para o bordo de , orientado positivamente. O bordo é a curva onde a superfície encontra as restrições dadas. Como a elipse é , e estamos considerando apenas e , nosso bordo está no primeiro quadrante.
Para parametrizar a elipse, podemos usar uma parametrização padrão ajustada para os coeficientes de e . A parametrização geral de uma elipse é:
No nosso caso, temos , que podemos reescrever como:
Então, e . Portanto, a parametrização do bordo é:
onde varia de a para cobrir o primeiro quadrante.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): calcular a integral de linha do campo vetorial sobre o bordo de , usando a definição.
A integral de linha definida é:
Onde é o bordo da superfície. Usando nossa parametrização do Passo 2, primeiro precisamos encontrar :
Agora, precisamos do vetor normal n à superfície. Como a superfície é o gráfico de , o vetor normal pode ser obtido a partir das derivadas parciais:
Calculando e :
Então,
Para a integral de superfície, usamos :
Agora, a integral de superfície fica:
Para facilitar, podemos usar coordenadas elípticas adaptadas à nossa elipse . Fazendo as substituições:
O jacobiano dessa transformação é:
Os limites serão r de 0 a 1 e theta de 0 a pi / 2.
Substituindo na integral:
Substituindo x e y:
Então,
Essa integral pode ser resolvida com mais passos de integração, mas observando que a resposta encontrada na parte (b) deve ser igual a essa pela validade do teorema de Stokes.
Resposta
Portanto, a integral de linha do campo vetorial F sobre o bordo de sigma, orientado positivamente, é: