Determine se as séries a seguir convergem ou divergem. (1 ponto) sumn=1^infty sen(n)n raizn.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para determinar se a série converge ou diverge. Estamos lidando com séries numéricas, e vamos precisar usar testes de convergência para resolver isso. Precisaremos entender sobre séries alternadas e testes como o da comparação para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão geral da série: . A função seno, , oscila entre -1 e 1 para todo valor de . Portanto, .

Passo 3

Agora, vamos considerar o valor absoluto dos termos da série para verificar a convergência absoluta. Isso significa analisar a série | sen(n)n raizn | <= 1n raizn = 1n^3/2 .
Como , temos:

Passo 4

Agora, comparamos nossa série com a série . Sabemos que a série p, , converge se . No nosso caso, , então a série de comparação converge.

Passo 5

Como temos que e a série converge, pelo Teste da Comparação, nossa série original de valores absolutos também converge.

Resposta

Portanto, a série converge absolutamente.

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