Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a série
converge ou diverge usando o teste de comparação. Nosso objetivo é entender se a soma infinita dos termos
chega a um número finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teste de comparação. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série que já conhecemos o comportamento. Se todos os termos da nossa série são menores ou iguais aos termos de uma série convergente, então nossa série também converge. Da mesma forma, se os termos forem maiores ou iguais aos de uma série divergente, nossa série também diverge.
Passo 3
Agora, precisamos escolher uma série de comparação que conhecemos. Uma boa escolha aqui é a série geométrica
. Sabemos que essa série é convergente porque a razão
está entre -1 e 1.
Passo 4
Vamos comparar os termos das duas séries. Observamos que para todo
:
Isso é verdade porque, para
,
cresce muito mais rápido que
, tornando
menor que
.
Passo 5
Como todos os termos da nossa série
são menores ou iguais aos termos de uma série convergente
, pelo teste de comparação, podemos concluir que a série
também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Seja
o sólido delimitado pelos planos
e
. Calcule, pela definição, o fluxo do campo vetorial
através da fronteira de
na direção do vetor,
, unitário normal exterior à
.
Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
ponto
.
Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
ponto)
.
Considere a superfície
como sendo a porção do gráfico da função
, delimitada pelos planos
e
e pela elipse
.
a) Obtenha uma parametrização para o bordo de , orientado positivamente.
b) Use a definição para calcular a integral de linha do campo vetorial , sobre do bordo de
, orientado positivamente.
c) Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha do campo vetorial , sobre do bordo de
, orientado positivamente.
a) Obtenha uma parametrização para o bordo de
b) Use a definição para calcular a integral de linha do campo vetorial
c) Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha do campo vetorial