Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a série
converge ou diverge usando o teste de comparação. Nosso objetivo é entender se a soma infinita dos termos
chega a um número finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teste de comparação. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série que já conhecemos o comportamento. Se todos os termos da nossa série são menores ou iguais aos termos de uma série convergente, então nossa série também converge. Da mesma forma, se os termos forem maiores ou iguais aos de uma série divergente, nossa série também diverge.
Passo 3
Agora, precisamos escolher uma série de comparação que conhecemos. Uma boa escolha aqui é a série geométrica
. Sabemos que essa série é convergente porque a razão
está entre -1 e 1.
Passo 4
Vamos comparar os termos das duas séries. Observamos que para todo
:
Isso é verdade porque, para
,
cresce muito mais rápido que
, tornando
menor que
.
Passo 5
Como todos os termos da nossa série
são menores ou iguais aos termos de uma série convergente
, pelo teste de comparação, podemos concluir que a série
também converge.
Resposta
A série
converge.