Considere a superfície como sendo uma porção do plano contido no cubo unitário . Calcule a integral de linha do campo vetorial sobre a fronteira de , orientada negativamente em relação a normal .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma superfície chamada σ, que é uma parte do plano dado por dentro do cubo unitário . Nosso objetivo é calcular a integral de linha do campo vetorial sobre a fronteira de σ, com uma orientação específica. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que conecta integrais de linha com integrais de superfície usando o rotacional do campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial F(x, y, z) = (y^2 - z^2),i + (z^2 - x^2),j + (x^2 - y^2),k , que é representado por nabla times F = ( partialpartial y(x^2 - y^2) - partialpartial z(z^2 - x^2) )i + ( partialpartial z(y^2 - z^2) - partialpartial x(x^2 - y^2) )j + ( partialpartial x(z^2 - x^2) - partialpartial y(y^2 - z^2) )k . O rotacional nos ajuda a transformar a integral de linha em uma integral de superfície, facilitando os cálculos.
Dado:
nabla times F = (-2y - 2z),i + (2x - 2z),j + (2y - 2x),k
Calculando cada componente do rotacional:
Simplificando:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície σ. Para isso, vamos parametrizar a superfície. A equação do plano é z = 3 - 2x - 2y2 , que podemos rearranjar para expressar em função de e :
Então, podemos parametrizar σ como , onde e variam de 0 a 1.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais da parametrização em relação a partial sigmapartial x = (1, 0, partial zpartial x) = (1, 0, -1) e partial sigmapartial y = (0, 1, partial zpartial y) = (0, 1, -1) :
Passo 5
Com as derivadas parciais, calculamos o produto vetorial para encontrar o vetor normal:
partial sigmapartial x times partial sigmapartial y = i & j & k 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 = i(0 cdot (-1) - (-1) cdot 1) - j(1 cdot (-1) - (-1) cdot 0) + k(1 cdot 1 - 0 cdot 0)
= i(1) - j(-1) + k(1) = i + j + k
Então, o vetor normal não normalizado é .
Passo 6
Vamos normalizar esse vetor para obter a unidade normal:
|eta| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
Portanto,
eta = 1raiz3(1, 1, 1)
Passo 7
Aplicando o Teorema de Stokes, sabemos que:
ointpartial sigma F cdot dr = integral duplasigma (nabla times F) cdot eta , dS
Isso significa que a integral de linha que queremos calcular é igual à integral de superfície do rotacional de dotado com a normal .
Passo 8
Vamos calcular o produto escalar (nabla times F) cdot eta = 1raiz3 [(-2y - 2z) + (2x - 2z) + (2y - 2x)] = 1raiz3 (-4z) :
(nabla times F) cdot eta = -4zraiz3
Simplificando:
Passo 9
Agora, precisamos integrar isso sobre a superfície σ. Sabemos que:
dS = |partial sigmapartial x times partial sigmapartial y| , dx , dy = raiz3 , dx , dy
Então, a integral fica:
integral duplasigma -4zraiz3 cdot raiz3 , dx , dy = integral duplasigma -4z , dx , dy
Substituindo = integral duplasigma -4 ( 3 - 2x - 2y2 ) , dx , dy = integral duplasigma (-6 + 4x + 4y) , dx , dy :
Passo 10
Finalmente, vamos integrar sobre integral0^1 integral0^1 (-6 + 4x + 4y) , dy , dx e integral0^1 [ -6y + 4x y + 2y^2 ]0^1 , dx = integral0^1 (-6 + 4x + 2) , dx = integral0^1 (-4 + 4x) , dx de 0 a 1: