Considere a superfície sigma como sendo uma porção do plano 2 x+2 y+2 z=3 contido no cubo unitário [0,1] times[0,1] times[0,1]. Calcule a integral de linha do campo vetorial F(x, y, z)= (y^2-z^2) i+(z^2-x^2) j+(x^2-y^2) k sobre a fronteira de sigma, orientada negativamente em relação a normal eta=partial sigmapartial u wed>= partial sigmapartial v|partial sigmapartial u wed>= partial sigmapartial v|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma superfície chamada σ, que é uma parte do plano dado por dentro do cubo unitário . Nosso objetivo é calcular a integral de linha do campo vetorial sobre a fronteira de σ, com uma orientação específica. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que conecta integrais de linha com integrais de superfície usando o rotacional do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial F(x, y, z) = (y^2 - z^2),i + (z^2 - x^2),j + (x^2 - y^2),k , que é representado por nabla times F = ( partialpartial y(x^2 - y^2) - partialpartial z(z^2 - x^2) )i + ( partialpartial z(y^2 - z^2) - partialpartial x(x^2 - y^2) )j + ( partialpartial x(z^2 - x^2) - partialpartial y(y^2 - z^2) )k . O rotacional nos ajuda a transformar a integral de linha em uma integral de superfície, facilitando os cálculos.
Dado:
nabla times F = (-2y - 2z),i + (2x - 2z),j + (2y - 2x),k
Calculando cada componente do rotacional:
Simplificando:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície σ. Para isso, vamos parametrizar a superfície. A equação do plano é z = 3 - 2x - 2y2 , que podemos rearranjar para expressar em função de e :
Então, podemos parametrizar σ como , onde e variam de 0 a 1.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais da parametrização em relação a partial sigmapartial x = (1, 0, partial zpartial x) = (1, 0, -1) e partial sigmapartial y = (0, 1, partial zpartial y) = (0, 1, -1) :

Passo 5

Com as derivadas parciais, calculamos o produto vetorial para encontrar o vetor normal:
partial sigmapartial x times partial sigmapartial y = i & j & k 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 = i(0 cdot (-1) - (-1) cdot 1) - j(1 cdot (-1) - (-1) cdot 0) + k(1 cdot 1 - 0 cdot 0)
= i(1) - j(-1) + k(1) = i + j + k
Então, o vetor normal não normalizado é .

Passo 6

Vamos normalizar esse vetor para obter a unidade normal:
|eta| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
Portanto,
eta = 1raiz3(1, 1, 1)

Passo 7

Aplicando o Teorema de Stokes, sabemos que:
ointpartial sigma F cdot dr = integral duplasigma (nabla times F) cdot eta , dS
Isso significa que a integral de linha que queremos calcular é igual à integral de superfície do rotacional de dotado com a normal .

Passo 8

Vamos calcular o produto escalar (nabla times F) cdot eta = 1raiz3 [(-2y - 2z) + (2x - 2z) + (2y - 2x)] = 1raiz3 (-4z) :
(nabla times F) cdot eta = -4zraiz3
Simplificando:

Passo 9

Agora, precisamos integrar isso sobre a superfície σ. Sabemos que:
dS = |partial sigmapartial x times partial sigmapartial y| , dx , dy = raiz3 , dx , dy
Então, a integral fica:
integral duplasigma -4zraiz3 cdot raiz3 , dx , dy = integral duplasigma -4z , dx , dy
Substituindo = integral duplasigma -4 ( 3 - 2x - 2y2 ) , dx , dy = integral duplasigma (-6 + 4x + 4y) , dx , dy :

Passo 10

Finalmente, vamos integrar sobre integral0^1 integral0^1 (-6 + 4x + 4y) , dy , dx e integral0^1 [ -6y + 4x y + 2y^2 ]0^1 , dx = integral0^1 (-6 + 4x + 2) , dx = integral0^1 (-4 + 4x) , dx de 0 a 1:
[ -4x + 2x^2 ]0^1 = (-4 + 2) - 0 = -2
Integrando em relação a :
Integrando em relação a :

Resposta

O valor final da integral de linha é .

Exercícios relacionados

Considere a superfície sigma como sendo uma porção do plano 2 x + 2 y + z = 2, orientada positivamente, com área igual a 3 e cuja fronteira é uma curva simples, fechada, regular. Calcule a integral de linha do campo vetorial F = 2y i + 3z j - x k sobre a fronteira de sigma.
Obtenha a representação em série de potências em torno de x = 0 das funções a seguir. Em cada caso, determine o raio de convergência da série. b) (1.5 ponto) g(x) = x^2 * e^(2x).
Determine vetor tangente unitário e o vetor normal unitário para as curvas parametrizadas abaixo: y = raiz(x);
Pode-se obter aproximações de raizk utilizando a sequência recursiva un+1=12(un+kun), onde u1=12.
(b) Mostre que, se L=lim n infty un, então L=raizk.