Pode-se obter aproximações de raizk utilizando a sequência recursiva un+1=12(un+kun), onde u1=12.
(b) Mostre que, se L=lim n infty un, então L=raizk.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma sequência recursiva que tenta aproximar a raiz quadrada de um número k usando a fórmula un+1 = 12(un + kun), começando com u1 = 12. Nosso objetivo aqui é mostrar que, se a sequência converge para algum limite L, então esse L realmente é igual a raizk. Para resolver isso, vamos precisar entender limites de sequências e como resolver uma equação envolvendo limites.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a sequência (un) realmente tem um limite quando n vai para o infinito, ou seja, L = limn to infty un existe. Quando uma sequência tem limite, o próximo termo da sequência também tende para esse limite. Então, podemos escrever:
L = limn to infty un+1 = limn to infty 12(un + kun)

Passo 3

Como limn to infty un = L, substituímos un por L na expressão acima:
L = 12(L + kL)
Isso simplifica a equação para resolvermos em termos de L.

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para L. Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
2L = L + kL
Subtraindo L de ambos os lados:
L = kL

Passo 5

Para encontrar L, multiplicamos ambos os lados por L:
L cdot L = k
O que dá:
L^2 = k

Passo 6

Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar L:
L = raizk

Resposta

Assim, mostramos que o limite L da sequência é igual a raizk.

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