Pode-se obter aproximações de utilizando a sequência recursiva , onde .
(b) Mostre que, se , então .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma sequência recursiva que tenta aproximar a raiz quadrada de um número usando a fórmula , começando com . Nosso objetivo aqui é mostrar que, se a sequência converge para algum limite , então esse realmente é igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender limites de sequências e como resolver uma equação envolvendo limites.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a sequência realmente tem um limite quando vai para o infinito, ou seja, existe. Quando uma sequência tem limite, o próximo termo da sequência também tende para esse limite. Então, podemos escrever:
Passo 3
Como , substituímos por na expressão acima:
Isso simplifica a equação para resolvermos em termos de .
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação para . Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Subtraindo de ambos os lados:
Passo 5
Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :
O que dá:
Passo 6
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :
Resposta
Assim, mostramos que o limite da sequência é igual a .