Pode-se obter aproximações de
utilizando a sequência recursiva
, onde
.
(b) Mostre que, se
, então
.
(b) Mostre que, se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma sequência recursiva que tenta aproximar a raiz quadrada de um número
usando a fórmula
, começando com
. Nosso objetivo aqui é mostrar que, se a sequência converge para algum limite
, então esse
realmente é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar entender limites de sequências e como resolver uma equação envolvendo limites.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a sequência
realmente tem um limite quando
vai para o infinito, ou seja,
existe. Quando uma sequência tem limite, o próximo termo da sequência também tende para esse limite. Então, podemos escrever:
Passo 3
Como
, substituímos
por
na expressão acima:
Isso simplifica a equação para resolvermos em termos de
.
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação para
. Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 5
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
O que dá:
Passo 6
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Resposta
Assim, mostramos que o limite
da sequência é igual a
.