Determine vetor tangente unitário e o vetor normal unitário para as curvas parametrizadas abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o vetor tangente unitário e o vetor normal unitário para a curva parametrizada por
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas para encontrar a inclinação da curva, e então usar vetores para normalizar e encontrar os vetores solicitados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que nos dá a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto
. A derivada de
é:
Passo 3
A partir da derivada, podemos escrever o vetor tangente não unitário. O vetor tangente em um ponto qualquer
na curva é dado por:
Passo 4
Agora, vamos normalizar o vetor tangente para que ele tenha comprimento 1. Primeiro, calculamos o comprimento (ou norma) do vetor
:
Então, o vetor tangente unitário
é:
Passo 5
Para encontrar o vetor normal unitário, vamos primeiro obter o vetor normal não unitário. O vetor normal é perpendicular ao vetor tangente e pode ser obtido trocando os componentes de
e mudando o sinal de um deles:
Passo 6
Assim como fizemos com o vetor tangente, vamos normalizar o vetor normal. Primeiro, calculamos a norma de
:
Então, o vetor normal unitário
é:
Resposta
O vetor tangente unitário para a curva
é:
E o vetor normal unitário é: