Considere a superfície sigma como sendo uma porção do plano 2 x + 2 y + z = 2, orientada positivamente, com área igual a 3 e cuja fronteira é uma curva simples, fechada, regular. Calcule a integral de linha do campo vetorial F = 2y i + 3z j - x k sobre a fronteira de sigma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo da borda da superfície , que é uma porção do plano com área 3. Vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial com a integral de superfície do rotacional desse campo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Ou seja, a integral de linha de ao redor da fronteira é igual à integral de superfície do rotacional de sobre .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de . O rotacional é dado por:
Calculando determinante:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos determinar o vetor normal à superfície . A superfície está no plano , então o vetor normal é dado pelos coeficientes das variáveis:
Aqui, normalizamos o vetor para que .

Passo 5

Vamos agora calcular o produto escalar :
Multiplicando componente a componente:

Passo 6

Agora, aplicando o Teorema de Stokes, temos:
Áí
Sabemos que a área , então:

Resposta

A integral de linha do campo vetorial sobre a fronteira de é igual a .

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