Considere a superfície como sendo uma porção do plano , orientada positivamente, com área igual a 3 e cuja fronteira é uma curva simples, fechada, regular. Calcule a integral de linha do campo vetorial sobre a fronteira de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo da borda da superfície , que é uma porção do plano com área 3. Vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial com a integral de superfície do rotacional desse campo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Ou seja, a integral de linha de ao redor da fronteira é igual à integral de superfície do rotacional de sobre .
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de . O rotacional é dado por:
Calculando determinante:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos determinar o vetor normal à superfície . A superfície está no plano , então o vetor normal é dado pelos coeficientes das variáveis:
Aqui, normalizamos o vetor para que .
Passo 5
Vamos agora calcular o produto escalar :
Multiplicando componente a componente:
Passo 6
Agora, aplicando o Teorema de Stokes, temos:
Áí
Sabemos que a área , então:
Resposta
A integral de linha do campo vetorial sobre a fronteira de é igual a .