Obtenha a representação em série de potências em torno de
das funções a seguir. Em cada caso, determine o raio de convergência da série. b) (1.5 ponto)
.
Passo 1
Beleza! A questão pede pra gente achar a representação em série de potências da função
em torno de
. Também tem que descobrir qual é o raio de convergência dessa série. Vamos precisar usar a série de Taylor da função exponencial e entender como multiplicar séries por polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências da função exponencial
. A série de
é conhecida e é dada por:
Como temos
, basta substituir
por
:
Passo 3
Agora, queremos multiplicar essa série por
para obter
. Isso significa que cada termo da série de
vai ser multiplicado por
:
Podemos reescrever isso ajustando o índice para facilitar:
Mas para manter o índice começando em 0, podemos deixar como está:
Passo 4
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de
converge para todo
real, ou seja, o raio de convergência é infinito (
). Quando multiplicamos por
, isso não altera o raio de convergência da série original. Portanto, o raio de convergência da série de
também é infinito.
Resposta
A representação em série de potências de
em torno de
é:
E o raio de convergência dessa série é infinito (
).