Obtenha a representação em série de potências em torno de x = 0 das funções a seguir. Em cada caso, determine o raio de convergência da série. b) (1.5 ponto) g(x) = x^2 * e^(2x).

Passo 1

Beleza! A questão pede pra gente achar a representação em série de potências da função em torno de . Também tem que descobrir qual é o raio de convergência dessa série. Vamos precisar usar a série de Taylor da função exponencial e entender como multiplicar séries por polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências da função exponencial . A série de é conhecida e é dada por:
Como temos , basta substituir por :

Passo 3

Agora, queremos multiplicar essa série por para obter . Isso significa que cada termo da série de vai ser multiplicado por :
Podemos reescrever isso ajustando o índice para facilitar:
Mas para manter o índice começando em 0, podemos deixar como está:

Passo 4

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de converge para todo real, ou seja, o raio de convergência é infinito ( ). Quando multiplicamos por , isso não altera o raio de convergência da série original. Portanto, o raio de convergência da série de também é infinito.

Resposta

A representação em série de potências de em torno de é:
E o raio de convergência dessa série é infinito ( ).

Exercícios relacionados