Determine se as séries a seguir convergem ou divergem. (1 ponto ) sumn=1^infty(3 n+44 n+5)^n.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita da forma e precisamos descobrir se essa série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos utilizar o Teste da Razão e entender um pouco sobre séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da nossa série, que é 3n +44n +5 = 3 + 4n4 + 5n approx 34 quando n to infty . Para entender o comportamento dessa expressão quando fica muito grande, vamos simplificar a fração dentro do expoente:
Isso significa que, conforme cresce, a fração se aproxima de .

Passo 3

Agora, vamos reescrever o termo geral com essa aproximação:
(3n +44n +5)^n approx (34)^n
Reconhecemos que é uma série geométrica com razão . Sabemos que uma série geométrica converge se .

Passo 4

Como , a série geométrica converge. Como nosso termo geral se comporta de forma semelhante a para valores grandes de , concluímos que a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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