Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
ponto
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita da forma
e precisamos descobrir se essa série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos utilizar o Teste da Razão e entender um pouco sobre séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da nossa série, que é
. Para entender o comportamento dessa expressão quando
fica muito grande, vamos simplificar a fração dentro do expoente:
Isso significa que, conforme
cresce, a fração
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever o termo geral com essa aproximação:
Reconhecemos que
é uma série geométrica com razão
. Sabemos que uma série geométrica
converge se
.
Passo 4
Como
, a série geométrica
converge. Como nosso termo geral
se comporta de forma semelhante a
para valores grandes de
, concluímos que a série original também converge.
Resposta
A série
converge.