Considere a superfície
como sendo uma porçāo do plano
, orientada positivamente, com área igual a 5 e cuja fronteira é uma curva simples, fechada, regular. Calcule a integral de linha do campo vetorial
sobre a fronteira de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha do campo vetorial
sobre a fronteira da superfície
, que é uma parte do plano
com área 5. Vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha ao redor da curva com a integral de superfície do rotacional do campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Ou seja, a integral de linha da fronteira
da superfície
é igual à integral de superfície do rotacional de
vezes o vetor normal
à superfície.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
, que é
. Usando a definição:
Substituindo os componentes de
:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 4
Agora, precisamos determinar o vetor normal
à superfície
. A superfície está no plano
, então o vetor normal é dado pelos coeficientes de
,
e
na equação do plano:
Mas como a orientação é positiva e já temos a área, vamos simplificar mais tarde.
Passo 5
A integral de superfície fica então:
Calculando o produto escalar:
Passo 6
Agora, multiplicamos pelo valor da área da superfície
, que é 5:
Resposta
A integral de linha do campo vetorial
sobre a fronteira de
é
.
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31.
31.
5-6 Determine se
é contínua em
. Explique seu raciocínio.
(a)
(a)
9-10 Obtenha
.
As funções são linearmente independentes?