Considere a superfície como sendo uma porçāo do plano , orientada positivamente, com área igual a 5 e cuja fronteira é uma curva simples, fechada, regular. Calcule a integral de linha do campo vetorial sobre a fronteira de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha do campo vetorial sobre a fronteira da superfície , que é uma parte do plano com área 5. Vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha ao redor da curva com a integral de superfície do rotacional do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Ou seja, a integral de linha da fronteira da superfície é igual à integral de superfície do rotacional de vezes o vetor normal à superfície.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de , que é . Usando a definição:
Substituindo os componentes de :
Calculando as derivadas parciais:
Então:

Passo 4

Agora, precisamos determinar o vetor normal à superfície . A superfície está no plano , então o vetor normal é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano:
Mas como a orientação é positiva e já temos a área, vamos simplificar mais tarde.

Passo 5

A integral de superfície fica então:
Á
Calculando o produto escalar:

Passo 6

Agora, multiplicamos pelo valor da área da superfície , que é 5:

Resposta

A integral de linha do campo vetorial sobre a fronteira de é .

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