5-6 Determine se
é contínua em
. Explique seu raciocínio.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a função vetorial é contínua em
. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como aplicá-la em funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função vetorial é contínua em um ponto se cada uma das suas componentes escalares for contínua nesse ponto. No nosso caso,
tem duas componentes: na direção
e
na direção
.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade de cada componente separadamente em
.
Passo 4
Para a componente :
- Sabemos que a função seno, , é contínua para todo valor de
. - Multiplicar por 3 não afeta a continuidade. Então, também é contínua em
.
Passo 5
Para a componente
:
- A função identidade,
, é contínua para todo . - Multiplicar por -2 também não altera a continuidade. Portanto,
é contínua em .
Passo 6
Como ambas as componentes, e
, são contínuas em
, podemos concluir que a função vetorial
é contínua em
.
Resposta
Sim, a função vetorial é contínua em
.