5-6 Determine se é contínua em . Explique seu raciocínio.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a função vetorial é contínua em . Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como aplicá-la em funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função vetorial é contínua em um ponto se cada uma das suas componentes escalares for contínua nesse ponto. No nosso caso, tem duas componentes: na direção e na direção .

Passo 3

Vamos verificar a continuidade de cada componente separadamente em .

Passo 4

Para a componente :
  • Sabemos que a função seno, , é contínua para todo valor de .
  • Multiplicar por 3 não afeta a continuidade. Então, também é contínua em .

Passo 5

Para a componente :
  • A função identidade, , é contínua para todo .
  • Multiplicar por -2 também não altera a continuidade. Portanto, é contínua em .

Passo 6

Como ambas as componentes, e , são contínuas em , podemos concluir que a função vetorial é contínua em .

Resposta

Sim, a função vetorial é contínua em .

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