As funções são linearmente independentes?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos verificar se as funções e são linearmente independentes. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre independência linear de funções.

Passo 2

Duas funções são linearmente independentes se não existe uma combinação linear delas que resulte na função zero, exceto quando todos os coeficientes dessa combinação são zero. Ou seja, se para constantes e , a equação só é satisfeita quando e .

Passo 3

Vamos supor que existe uma combinação linear das funções e que resulta na função zero:
Queremos verificar se a única solução para e é e .

Passo 4

Podemos fatorar da equação:
Essa equação deve ser verdadeira para todo no domínio das funções.

Passo 5

Para que a equação acima seja válida para todo , o fator dentro dos parênteses deve ser zero:
Isso implica que:

Passo 6

Resolveremos agora a equação para . A única maneira dessa equação ser verdadeira para todo é que e . Se fosse diferente de zero, dependeria de , o que contraria a igualdade para todo .

Passo 7

Portanto, a única solução possível é e , o que significa que as funções e são linearmente independentes.

Resposta

As funções e são linearmente independentes.

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