Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
31.
31.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descrever os intervalos nos quais a função
é contínua. Vamos precisar entender o que é uma função contínua e analisar o comportamento dessa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que significa a notação
. Ela representa a função parte inteira, também conhecida como função piso ou “floor” em inglês. Isso significa que
retorna o maior número inteiro menor ou igual a
. Por exemplo, se
, então
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um intervalo se não tiver quebras, saltos ou pontas nesse intervalo. No caso da função parte inteira, ela é constante entre dois números inteiros, mas tem saltos quando
atinge um número inteiro.
Passo 4
Vamos identificar onde ocorrem esses saltos. Como estamos trabalhando com
, os saltos acontecem quando
é um número inteiro, ou seja, quando
é um número inteiro mais 1. Por exemplo, quando
, temos
, que é inteiro. Nesses pontos, a função parte inteira salta para o próximo inteiro.
Passo 5
Portanto, a função
é contínua em todos os intervalos entre
e
, onde
é um número inteiro. Isso significa que, para cada inteiro
, a função é contínua no intervalo aberto
.
Passo 6
Nos pontos onde
, a função não é contínua porque ocorre um salto. Nesses pontos, a condição de continuidade não é satisfeita porque o limite à esquerda
não é igual ao valor da função no ponto
.
Resposta
A função
é contínua em todos os intervalos
, onde
é um número inteiro. Os pontos
não são contínuos porque a função apresenta descontinuidades nesses pontos.
Exercícios relacionados
5-6 Determine se
é contínua em
. Explique seu raciocínio.
(a)
(a)
Considere a superfície
como sendo uma porçāo do plano
, orientada positivamente, com área igual a 5 e cuja fronteira é uma curva simples, fechada, regular. Calcule a integral de linha do campo vetorial
sobre a fronteira de
.
9-10 Obtenha
.