Descreva o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função é contínua. Explique por que a função é contínua no(s) intervalo(s). Se a função tiver uma descontinuidade, identifique as condições de continuidade que não são satisfeitas.
31.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descrever os intervalos nos quais a função é contínua. Vamos precisar entender o que é uma função contínua e analisar o comportamento dessa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que significa a notação . Ela representa a função parte inteira, também conhecida como função piso ou “floor” em inglês. Isso significa que retorna o maior número inteiro menor ou igual a . Por exemplo, se , então .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um intervalo se não tiver quebras, saltos ou pontas nesse intervalo. No caso da função parte inteira, ela é constante entre dois números inteiros, mas tem saltos quando atinge um número inteiro.

Passo 4

Vamos identificar onde ocorrem esses saltos. Como estamos trabalhando com , os saltos acontecem quando é um número inteiro, ou seja, quando é um número inteiro mais 1. Por exemplo, quando , temos , que é inteiro. Nesses pontos, a função parte inteira salta para o próximo inteiro.

Passo 5

Portanto, a função é contínua em todos os intervalos entre e , onde é um número inteiro. Isso significa que, para cada inteiro , a função é contínua no intervalo aberto .

Passo 6

Nos pontos onde , a função não é contínua porque ocorre um salto. Nesses pontos, a condição de continuidade não é satisfeita porque o limite à esquerda não é igual ao valor da função no ponto .

Resposta

A função é contínua em todos os intervalos , onde é um número inteiro. Os pontos não são contínuos porque a função apresenta descontinuidades nesses pontos.

Exercícios relacionados

5-6 Determine se é contínua em . Explique seu raciocínio.
(a)
Considere a superfície como sendo uma porçāo do plano , orientada positivamente, com área igual a 5 e cuja fronteira é uma curva simples, fechada, regular. Calcule a integral de linha do campo vetorial sobre a fronteira de .
9-10 Obtenha .